Ось пояснення для людей, які пам'ятають стандартний курс диференціального-інтегрального числення декількох змінних (хоча б навіть на рівні технічного вузу і т.п.) Символ R позначає, як завжди, безліч всіх дійсних чисел.
Завдання: на області (відкритому підмножині) U ⊂ R 2 задані дві функції f, g: U → R. (Всі функції передбачаються досить хорошими - безперервними і мають стільки безперервних приватних похідних, скільки може знадобитися.) Чи існує функція H: U → R. така що ∂H / ∂x = f і ∂H / ∂y = g?
Малюнок рішення: відзначимо, що приватні похідні коммутируют, ∂ 2 H / ∂x∂y = ∂ 2 H / ∂y∂x. Тому, щоб задача мала рішення, необхідно перш за все, щоб виконувалося рівність ∂f / ∂y = ∂g / ∂x. Це як би базове необхідна умова для того, щоб постановка завдання мала сенс; без цього, і говорити нема про що.
Припустимо, що ця умова виконана. Тоді виявляється, що можливість розв'язання задачі залежить від топології області U. Якщо вона однозв'язна (попросту кажучи, всередині неї немає дірок - наприклад, U може бути начинкою кола, квадрата, трикутника і т.п.), завдання має рішення. Якщо ж дірка всередині є - скажімо, U є кільце (область між двома концентричними колами) - вони можуть перешкоджати.
Перешкода це має інший вигляд, ніж те, що було розглянуто вище: якщо нашим першим необхідною умовою була рівність деяких функцій на U, то додаткова умова, пов'язане з діркою всередині U, має вигляд рівності деяких чисел (залежних від функцій f і g). Числа ці визначаються як відповідні інтеграли по якій-небудь замкнутій кривій всередині U, що обходить навколо дірки. Якщо всередині U кілька дірок (скажімо, U є епсилон- околицею намальованою на площині вісімки - тоді дірок всередині дві), для розв'язання задачі необхідно, щоб виконувалося по одному такому чисельному рівності для кожної з дірок. Більш того, описана сукупність необхідних умов є і достатньою умовою.
На цьому прикладі можна бачити базову схему того, що називається гомологічних перешкодою до розв'язання задачі. Є "великий" набір очевидно необхідних умов для того, щоб завдання мала сенс; після того, як ці умови виконані, залишається ще "набагато менший" набір "неочевидних" і "цікавих" умов, який є і достатнім. Ось такі перешкоди до можливості розв'язання природних завдань, а також параметрізуется ці перешкоди індекси (реально, групи або векторні простору і т.п.) вивчає гомологічна алгебра.
Читати повну новину з істочнікаnbsp