Уявіть, що у нас є якась функція залежності чогось від чогось.
Наприклад, ось так приблизно можна на графіку уявити швидкість моєї роботи в залежності від часу доби:
Швидкість я вимірюю в рядках коду в хвилину, в реальному житті я програміст.
Обсяг роботи - це швидкість роботи помножити на час. Тобто якщо я пишу 3 рядки в хвилину, то в годину виходить 180. Якщо у нас є такий графік, можна дізнатися, скільки роботи я зробив за день: це площа під графіком. Але як це порахувати?
Розділимо графік на стовпчики рівної ширини величиною в годину. А висоту цих стовпчиків зробимо рівної швидкості роботи в середині цього години.
Площа кожного стовпчика окремо легко порахувати, треба помножити його ширину на висоту. Виходить, що площа кожного стовпчика - це скільки приблизно я роботи зробив за кожну годину. А якщо підсумувати всі стовпчики, то вийде приблизна моя робота за день.
Проблема в тому, що результат вийде приблизний, а нам потрібно точне число. Розіб'ємо графік на стовпчики по півгодини:
На зображенні видно, що це вже набагато ближче до того, що ми шукаємо.
Так зменшувати відрізки на графіку можна до нескінченності, і кожен раз ми все ближче і ближче будемо підходити до площі під графіком. А коли ширина стовпчиків буде прагнути до нуля, тоді сума їх площ буде прагнути до площі під графіком. Це і називається інтегралом і позначається ось так:
У цій формулі f (x) означає функцію, яка залежить від величини x, а букви a і b - це відрізок на якому ми хочемо знайти інтеграл.
Навіщо це потрібно?
Вчені намагаються все фізичні явища висловити у вигляді математичної формули. Як тільки у нас є формула, далі вже можна за допомогою неї порахувати що завгодно. А інтеграл - це один з основних інструментів роботи з функціями.
Наприклад, якщо у нас є формула кола, ми можемо за допомогою інтеграла порахувати його площа. Якщо у нас є формула кулі, то ми можемо порахувати його обсяг. За допомогою інтегрування знаходять енергію, роботу, тиск, масу, електричний заряд і багато інших величини.
Ні, навіщо мені це потрібно?
Так нізачем - просто так, з цікавості. Насправді інтеграли входять навіть до шкільної програми, але не так багато людей навколо пам'ятають, що це таке.