Лінійна і афінна зв'язність - це окремі випадки загального поняття зв'язності на розшаруванні. А зв'язність Леві-Чивіти - окремий випадок аффинной зв'язності.
Наочно зв'язність Леві-Чивіти можна уявити собі так. Візьмемо аркуш паперу, і розкреслив його паралельними лініями, що проходять через всі точки. Потім ще однією системою таких ліній, але під іншим кутом. І так - під всіма кутами. Тепер, якщо ми виходимо з якоїсь точки з якоїсь лінії, то ми знаємо, як ця лінія йде, коли ми прийшли в іншу точку. Назвемо ці лінії геодезичними. За допомогою цих ліній можна переносити вектор з точки в точку. Припустимо, ми в точці 1 маємо вектор уздовж лінії і йдемо в іншу точку вздовж лінії Тоді, прийшовши в точку 2, ми повинні будемо взяти вектор знову ж в напрямку лінії належить тій же підсистемі ліній, що і Це інше уявлення про геодезичних, ніж через метрику. Метрика змушує нас натягувати нитку уздовж поверхні, і найкоротша лінія називається геодезичної. А зв'язність Леві-Чивіти пропонує нам рухатися по поверхні, як на лижах: ми не можемо звернути вбік, бо лижі прямі, і не повертаються в лижні (або можна уявити собі рейки). І таким чином, геодезичної називається лінія, яка "нікуди не згортає". Зрозуміло, в проекції на плоску карту геодезична може виглядати кривої - вона "нікуди не згортає" в сенсі внутрішньої геометрії на поверхні.
Яким чином ця картина пов'язана із загальним поняттям зв'язності? Можливості підключення на розшаруванні - це коли ми в кожній точці простору (воно стає базою) відновлюємо деякий новий простір (шар), і задаємо правила переходу між сусідніми шарами, так що рухаючись по певному шляху від точки до точки бази, ми отримуємо однозначну відповідність між шарами в початковій і кінцевій точці. Тепер, візьмемо в якості шару дотичну площину до викривленої поверхні. Таке розшарування називається дотичним розшаруванням. Взявши якісь вектори на цій дотичній площині, поїдемо по шляху по поверхні - і наші вектори поїдуть разом з нами. Це з одного боку - правило перенесення векторів по аффинной зв'язності - а з іншого боку - ця процедура задає зв'язність на дотичному розшаруванні. Таким чином, афінна зв'язність - це і є зв'язність на дотичному розшаруванні. А зв'язність Леві-Чивіти - це аффинная зв'язність без крутіння. Кручення легко собі уявити: це коли ми замість ліній, як в минулий раз, розкреслюють простір тонкими смужками, і такі смужки можуть бути закручені навколо своєї осі. Тоді ми маємо інформацію не тільки про те, як проходять геодезичні, але і як переносяться вектори - по іншим правилом, ніж "взяти лінію з підсистеми лінії".
Символи Крістоффеля - це коефіцієнти, які виражають зв'язність в обраному базисі. Вони визначені як то є, переносячи вектор в напрямку вектора ми отримуємо компоненти в напрямку векторів рівні
Лінійна зв'язність - це ще більш загальне поняття, ніж аффинная зв'язність. Це ситуація, коли векторні простору шарів в кожній точці - НЕ дотичні, а просто якісь векторні простору. Навіть будь-який інший розмірності.
Re: Що таке зв'язність?
Дякуємо. Тепер мені трохи зрозуміліше.
Хто зараз на конференції
Зараз переглядають цей форум: Немає зареєстрованих користувачів
Ви не можете створювати нові теми у
Ви не можете відповідати на повідомлення
Ви не можете редагувати свої повідомлення
Ви не можете видалити свої повідомлення
Ви не можете додавати файли у цьому