Що таке аффинная зв'язність?
Аффинная зв'язність. Цей термін мало що говорить навіть людині, яка отримала університетську освіту. Однак, я сподіваюся пояснити на досить простих прикладах, що це таке і чому має для фізики визначальне значення.
Сподіваюся, ви вже подивилися статті про відносність. тензори. псевдоевклидова і метриці. і маєте деяке уявлення про те, як в кожній точці простору-часу можуть бути різними способами обрані набори одиниць виміру. Продовжу з припущення, що це вже зроблено і всі крапки деякої області простору-часу оснащені такими наборами масштабів і є образ цієї області у вигляді числового континууму, описуваного системою координат. Нехай для простоти простір двовимірне і координати точки позначаються як x i. i = 1,2. Самі масштаби, одиниці виміру, в кожній точці зображуються контраваріантнимі векторами e i 1. з компонентами 1 і 0. і e i 2. з компонентами 0 і 1. Зауважте, компоненти цих векторів в даній системі координат всюди однакові, в кожній точці. Крім векторів масштабів можна в кожній же точці визначити безліч векторів нескінченно малого зміщення з неї - dx i. Таких векторів нескінченно багато, по одному для кожного шляху, що веде з точки. Але традиційно про них говорять в однині - вектор нескінченно малого зсуву, тому що зазвичай завжди мається на увазі один вектор з усім тим натовпом, один якийсь шлях.
Тільки ось проблема-то. Як реально переконатися, що "хороші" годинник є всюди і скрізь, та ще й час одне і теж показують? Та й лінійки теж. Знаємо ж точно, що це не так. Так що від визнання рівноправності всіх без винятку процедур вимірювань нам нікуди не дітися. І потрібно навчитися працювати з результатами вимірювань, які дають вони. Що це означає? Це означає, що кожен спостерігач зобов'язаний допускати, що його набори масштабів можуть змінюватися при переміщенні від точки до точки простору-часу. Відповідно, і при порівнянні результатів вимірювання одного об'єкта в різних точках потрібно враховувати, що не тільки сам об'єкт міг змінитися, але масштаб теж. Аффинная (лінійна) зв'язність і є та структура, яка в явному вигляді описує потенційне зміна масштабів і дозволяє без проблем працювати в такій ситуації.
Масштаб у нас зображується контраваріантним вектором e i n. Індекс n внизу тут позначає номер масштабу, а не компоненти вектора. Нехай ми допускаємо, що при зміщенні в сусідню, нескінченно близьку точку, масштаб буде відрізнятися від свого значення в поточній точці в першому, лінійному наближенні щодо зміщення dx j з точки на деяку величину de i n. Що означає лінійне наближення? До речі, саме з цим наближенням і пов'язане визначення "аффинная". Чи означає воно те, що можна записати n співвідношень для кожної i-ої компоненти
У цій формулі за індексом j мається на увазі підсумовування. У нашому двовимірному випадку
Далі ми будемо слідувати цій угоді завжди - якщо індекси знизу і зверху у формулі повторюються, то це записана сума за всіма значеннями індексу.
Символами j> n позначені коефіцієнти в записаному вище розкладанні.
З іншого боку, масштаби в зміщеною точці теж вектори того ж самого виду. І їх значення можна розглядати як результат дії деякого перетворення на значення масштабів у вихідній точці:
Це співвідношення слід розуміти так - зміни в масштабах потрібно розглядати як пропорційні самим масштабами. Тобто потрібно відстежувати відносні зміни в масштабах. Адже для вимірювання змін використовуються самі масштаби, існуючі в даній точці, інших немає. Тому незалежними величинами є відносні зміни, а не абсолютні. Відповідно, введені вище коефіцієнти можна також записати як згортку з векторами репера (тобто з набором масштабів).
Навіщо я тут поставив мінус скажу пізніше. Зараз в виправдання - я ж сам ввожу позначення, ну зручно мені так, чому ні? Підставами це співвідношення замість символів j> n. вийде
Зверніть увагу, зліва стоїть не вектор! І коефіцієнти Г i jk НЕ тензор! Це дуже важливо. А тепер я перепишу все це ще раз по іншому.
Це рівність справедливо в будь-якій системі координат, для будь-якого вибору масштабів. І зауважте, тепер зліва стоїть вже вектор! Рівний нулю за визначенням. Чому? А в моїй системі координат, будь-яке моє масштаб, який я тягну з собою, для мене за визначенням завжди збігається сам з собою! Це для інших він може змінюватися, а для мене - ні. І що ж це я тут таке складне написав? Та нічого особливого, просто формалізував допущення про змінюваність масштабів, записав це можлива зміна віднесених до самих масштабах і, в першому наближенні, як пропорційне зміщення з моєї точки. Замість самих змін ввів коефіцієнти Г i jk. які в моїй системі координат будуть функцією точки і з їх допомогою можна пов'язати результати вимірювань в сусідніх точках (в інших системах координат, звичайно, теж, але там коефіцієнти ці будуть іншими функціями). Ось тому математики і назвали цю структуру связностью, а Г i jk коефіцієнтами аффинной (лінійної по зсуву) зв'язності. Ще ви можете зустрітися з тим, що їх називають символами Крістофеля. Але ця назва зазвичай застосовують тільки в окремому випадку ріманови простори.
Ну ось, нарешті предмет цієї статті перед вами. Обговоримо тепер, що ще можна сказати про зв'язності, крім вже сказаного. І чому це така важлива структура для простору часу.
Фізичний сенс зв'язності досить ясний з самого способу визначення коефіцієнтів зв'язності. Це швидкості відносних змін об'єктів, обраних в даній процедурі вимірювань в якості одиниць при переході від точки до точки в описуваному просторі. Це не тензор, але більш загальний геометричний об'єкт. Як перетворюються його компоненти при переході до інших систем координат є надзвичайно важливим для математики (та й для фізики теж), але тут нам знати цього не потрібно. Важливо лише розуміти, що в іншій системі координат коефіцієнти зв'язності будуть являти собою теж швидкості відносних змін об'єктів, але інших, а саме тих, які є одиницями в новій процедурі вимірювань. У зв'язності є й інший, більш звичний для фізиків сенс. З точки зору фізики, зв'язність є не що інше, як комплекс потенціалів єдиного фізичного поля. Але зараз я не збираюся загострювати на цьому увагу. Зупинюся більш детально на тому, що ж дає наявність зв'язності для математики (і, як наслідок, для фізики теж).
Простору, в яких в кожній точці визначена аффинная зв'язність (її коефіцієнти як функції точки задані в деякій системі координат, а значить і у всіх інших теж), називають просторами аффинной зв'язності. Ріманови і, відповідно, евклідові простору є окремими випадками просторів афінної зв'язності. Наявність зв'язності уможливлює коваріантним чином (тобто, з узгодженими результатами для будь-яких допустимих координат) не тільки виробляти операції алгебри з тензорами (з результатами вимірювань виділених об'єктів) але і диференціювати, і навіть інтегрувати їх. Результатами цих операцій знову є тензори, є математичними образами результатів вимірювань виділених об'єктів. А значить результати операцій теж можуть бути поставлені у відповідність тих чи інших виміряним об'єктів.
За допомогою афінної зв'язності визначається операція коваріантного або абсолютного диференціювання тензорних величин на таких просторах. Для вказівки цієї операції використовується символ D. на відміну від символу звичайного диференціала d. Але є ще одна операція, найтіснішим чином з цим пов'язана, яка носить назву паралельного перенесення векторів і інших тензорів уздовж кривої. Найчастіше аффинная зв'язність вводиться математиками саме за допомогою поняття паралельного перенесення. Природно, нічого додаткового при цьому не з'являється, просто трохи зміщується акцент викладу. Я звертав увагу на те, що зміни в компонентах масштабів вимірюються самими масштабами. Але те ж саме можна виразити як відхилення масштабу в сусідній (нескінченно близької) точці від перенесеного туди паралельно самому собі масштабу з даної точки. Слова "паралельно самому собі" еквівалентні співвідношенню De in = 0. Значить це, що за визначенням, в даній системі координат, всі вектори базису (одиниці вимірювання, необхідні і достатні для опису простору) переносяться паралельно уздовж будь-якої координатної лінії, що виходить із даної точки . Тобто, при зміщенні з точки, вектори базису, перенесені туди паралельно, збігаються з існуючими в новій точці. Ще це визначення можна трактувати і навпаки - паралельний перенос це таке перенесення, при якому стерпний вектор збігається з існуючим в точці, куди він переноситься. Компонентів перенесеного вектора присвоюються значення компонент вектора, існуючого в сусідній точці. Визначення гарантує таку властивість в будь-якій системі координат тільки для векторів базису. Потрібно ще пояснити, що координатної є така лінія, яка виходить із точки, до якої один з векторів базису є дотичним, тобто лінія саме в напрямку цього вектора. А ось інші вектори, існуючі в даній точці, аж ніяк не зобов'язані переноситися паралельно уздовж такої лінії в будь-якій системі координат. Але! Є система координат, в якій заданий вектор переноситься парараллельно уздовж деякої лінії (тобто його абсолютний диференціал D уздовж всієї лінії дорівнює нулю)! Це та система координат, в якій даний вектор (якщо він контраваріантний, звичайно) є одним з векторів базису, однією з одиниць виміру. А відповідна лінія є координатної. Як повинно бути зрозуміло з вищесказаного, результат паралельного перенесення будь-якого вектора залежить від шляху цього перенесення.
Хочу підкреслити один дуже важливий властивість зв'язності. Ми записали її коефіцієнти як результати вимірювань змін наших масштабів цими ж масштабами. Звучить добре, але як виконати такі вимірювання? Адже з точки зору існування самих масштабів вони мимоволі залишаються тотожними самі собі в усі моменти свого існування! До речі, саме це і записано співвідношенням De i n = 0. Ми аж ніяк не закрили очі на цю проблему. Що ж це означає? А ось що. Так, дійсно, не існує можливості прямим шляхом, за допомогою вимірювань самого набору масштабів, обраного для створення поточного зображення світу в цій галузі встановити вид зв'язності саме в цій системі координат. Але це і не дуже важливо. Досить визнати і прийняти до уваги, що обрані масштаби, можливо, змінюються від точки до точки. Так, в зв'язності буде в цьому сенсі міститися деяка частка невизначеності. Але все, що стосується співвідношень між вимірюваними величинами, буде цілком визначено. Як ви розумієте, зауваження це стосується опису за допомогою зв'язності співвідношень в реальному світі. А в світі чистої математики, яка просто вивчає, які можливості їй дає цей інструмент, такої проблеми і зовсім немає. Вважаємо, що зв'язність задана, і баста! І знаєте, що цікаво? Виявляється, якщо коефіцієнти зв'язності в просторі відомі як функції координат, то про такий просторі відомо все!
Так, звичайно, для того, щоб описати це "все" було розвинено багатющий апарат, про який я тут скажу лише кілька слів. Хоча зв'язність і не є тензором, але породжує (з компонент зв'язності можна сформувати за допомогою алгебраїчних операцій і / або диференціювання) кілька дуже важливих тензорів. До них відносяться тензор крутіння і тензор кривизни. разом зі своїми згортками. Нагадаю, що це означає, що деякі властивості зв'язності можна отримати в результаті вимірів об'єктів. Далі починається класифікація просторів за їх властивостями - при таких умовах виходить то, при інших - це. Відповідно, простору отримують назви - еквіаффінние. Ріманови. аффінниє. Евклідові ... евклідові вам знайомі краще за всіх. Чим же вони характерні з точки зору зв'язності? А ось чим. По-перше, це такі простору, в яких існують особливі, однакові у всіх точках набори масштабів. Якщо вибрати один з таких наборів масштабів для побудови в просторі системи координат, то така система буде накривати весь простір і коефіцієнти аффинной зв'язності в ній будуть усюди дорівнюють нулю! По-друге, ці масштаби також дозволяють сформувати метрику, також однакову у всіх точках простору! Тобто, в такому (і тільки в такому!) Просторі і реалізується можливість мати "хороші" одиниці виміру.