Що таке тензори? Чому тензори є основним математичним інструментом у фізиці?
Слово "тензор" все ще залишається дуже для багатьох фізиків, а вже для не-фізиків тим більше, ніж щось мало зрозумілим, математичною абстракцією. І це незважаючи на те, що самі тензори використовуються у фізиці вже більше століття. Що ж таке тензор? Відповідь на це питання надзвичайно простий - це сукупність наборів чисел, які ставляться у відповідність деякому фізичному об'єкту. виділеного з іншого реального світу. кожною процедурою вимірювань (тобто за допомогою порівняння всього цього об'єкта разом, або деяких його окремих властивостей, з вибраними масштабами) окремо і всіма такими допустимими процедурами вимірювань разом. Тензори розрізняються кількістю чисел в таких наборах і правилами, які пов'язують їх значення в різних системах координат.
Правила ці прості, класифікація тензорів теж, але простота ця вимагає роз'яснень на наочних прикладах.
Візьмемо для початку одномірне простір цін. використане в якості прикладу під час обговорення поняття відносності. Нехай нами обрані як допустимі дві валюти (дві системи координат) рубль і долар, а фізичним об'єктом буде булка.
Перший, найпростіший тензор, який з'являється в такому просторі - це скаляр 1. приписаний такій властивості фізичних об'єктів, як: 1 булка. Від вибору одиниці виміру ціни (рубль чи, долар чи) це властивість не залежить, є інваріантом і безрозмірним числом. Скаляр ще називають тензор му нульового рангу. Скаляр може приймати довільне числове значення - 2, 3, 1.5 (булки). Зауважимо, що хоча скаляри безрозмірні, але деякий рудиментарний слід розмірності вони мають - булки відрізняються від ковбас, наприклад, хоча з точки зору ціни вони цілком сумісні. Можна говорити про загальну ціною булки і ковбаси разом. Тобто різниця між скалярами в деякому роді винесена за межі математики. Скаляр визначається в просторі ще до введення будь-якої процедури вимірювань, він виникає як тільки ми виділяємо індивідуальні частини в нашому світі. Але і після визначення систем координат він не зникає. Це найпростіший з наборів чисел. Компонента в наборі "скаляр" завжди одна. Значення її однаково в усіх системах координат. Цей факт, очевидно, не залежить від числа вимірів простору, тому що сам скаляр від процедури вимірювань, цю мірність визначальною, не залежить.
Наступний тензор, який ми можемо відразу побачити, називається вектор, або тензор першого рангу. Це не що інше як ціна фізичного об'єкта (булки в даному випадку). Оскільки простір наше одномірний, властивість у об'єкта в цьому просторі описується тільки одне, то і компонент у векторі теж буде всього одна. Але! Якщо у скаляра одна компонента буде завжди, для простору будь-якої кількості вимірювань, то у вектора число компонент строго дорівнює числу вимірювань. Саме це мається на увазі в утвердженні "тензор першого рангу". При вимірюванні кожен масштаб ставить у відповідність виділеного об'єкту одну розмірну компоненту - число, яке вказує скільки таких масштабів потрібно, щоб відтворити об'єкт. Розмірність різних компонент в загальному випадку різна і збігається з найменуванням відповідної одиниці виміру. У нашому конкретному випадку це буде, наприклад, 25 рублів. Ціна булки в рублях, x p = 25 (рублів). А в доларах (в іншій системі координат) це буде 1 долар, x д = 1 (доларів). Зауважимо, що коефіцієнтів переходу між системами координат (валютами) два. Від рублів в долари, відношення долара до рубля на даному ринку (е д / е p = 1/25 долар / рубль) і навпаки (е р / е д = 25 рубль / долар). Коефіцієнти перетворення координат теж розмірні, причому мають розмірності з обох систем координат. Значення вектора перетворюються з однієї системи координат в іншу за допомогою формули x д = е д / е p • x p. Цілком природна формула. Щоб отримати значення компоненти вектора в новій системі координат по відношенню до одиниці "долар" потрібно помножити значення вектора в старій системі координат по відношенню до одиниці "рубль" на ставлення нової одиниці до старої. Зауважте, розмірності при цьому теж перетворюються! Загальне правило - компоненти такого вектора перетворюються при переходах між системами координат за допомогою матриці перетворення самих координат (одиниць в них обраних), матриці похідних нових координат як функцій старих. У нашому прикладі матриця зводиться до одного числа, але ясно, що в разі декількох одиниць (простору декількох вимірювань) це буде таблиця чисел (розмірних!).
Виявляється, що в нашому одновимірному просторі існують також і інші тензори першого рангу, дуже схожі на вектор ціни. Вони теж мають стільки ж компонент, скільки одиниць вимірювань в даному просторі. Тому їх теж називають векторами. Але висловлюють вони зовсім інша властивість об'єкта! Щоб розрізняти ці два види векторів, їх називають контраваріантниє вектори (такі як вектор ціни) і коваріантні вектори. Назви ці означають "протівопреобразующіеся" і "сопреобразующіеся". Легко зрозуміти, що пов'язано це з формулами перетворення їх компонент при переходах між системами координат. Зараз ми введемо для булки коваріантний вектор, і ви побачите різне. Скільки булок можна купити на одиницю виміру (в даному випадку, ціни - на один рубль або один долар)? Адже питання цілком осмислений, ми їм часто задаємося. Саме така властивість об'єкта, "доводиться в такому-то кількості на одиницю виміру" і висловлює коваріантний вектор. Для булки це буде xp = 1/25 (1 / рубль). Тобто на 1 рубль можна купити 1/25 частина булки. Зверніть увагу, індекс валюти варто внизу і розмірність компоненти коваріантного вектора є зворотною до розмірності відповідної одиниці. В іншій системі координат xд = е р / е д • xp. Компоненти коваріантного вектора множаться на ставлення старої одиниці до нової. Загальне правило, що відрізняє коваріантний вектор від контраваріантного - його компоненти перетворюються за допомогою оберненої матриці перетворення координат, матриці похідних старих координат за новими.
А для чого нам потрібні всі ці вектори? У житті ми ціни складаємо, множимо, ділимо ... Правильно, я повинен ввести (описати) операції з тензорами. Ось вам приклад множення, яке носить ще одне спеціальну назву, згортка. x p • xp = 1. Що вийшло в результаті цієї операції, твори ціни булки на питому ціну тієї ж булки? Правильно, скаляр, число булок, а саме одна ця сама булка. А ось ще співвідношення - z p = x p + y p. Про що воно говорить? Товар x має деяку ціну в рублях, товар y іншу. Загальну ціну нового товару z. що складається з двох товарів разом, позначимо як z p. А що ви скажете про такий z p = x p + y д сумі? Або про такий z p = x p + yp. Або про такий zp = x p + y p. Дурість, не можна так складати - рублі з доларами, або ціну з питомою ціною. І не можна склавши дві ціни отримати питому ціну. Додавання цін завжди дає ціну. Ось вам і головне правило операцій з тензорами. яке вам може бути відомо як вимога ковариантности законів фізики. Додавання, віднімання і рівність можуть пов'язувати тільки тензори однакової будови в одній і тій же системі координат. І це правило абсолютно природне, воно просто строго формулює описані вище вимоги здорового глузду.
Простір цін, яке я вибрав для своїх прикладів, занадто просте, оскільки одномірний і через це ввести в ньому більш складні тензори (другого, і так далі рангів) не вдається досить просто (формально можна, але великого сенсу вони не мають). Але воно дуже наочне, зрозуміле, операції в ньому звичні практично для всіх. Хочу ще раз підкреслити одну найважливішу річ, яку намагався зробити зрозумілою вам, природною. Тензор, який би складний він не був на перший, другий і третій погляд, завжди є не що інше, як числове вираження деяких виміряних властивостей деякого конкретного, виділеного фізичного об'єкта. Причому, на даному рівні (для тензора даного рангу) чисел рівно стільки, скільки властивостей об'єкта розглядається. А властивостей можна розглянути стільки, скільки різних незалежних одиниць ви маєте. А ще краще висловити цю думку навпаки - для повного опису об'єкта ви зобов'язані взяти стільки незалежних одиниць виміру, скільки незалежних властивостей має даний предмет. У нашому конкретному випадку нас цікавить одна властивість, ціна. Ось і одиниця виміру у нас одна.
Розглянемо приклад більш складний, але все-таки все ще близький до нашого безпосереднього досвіду. І, звичайно, близький до теми цього сайту. Такий приклад нам може надати 3х мірний простір. У школі перше поняття про тензор (правда без згадки, що мова йде саме про тензор) ми отримуємо на прикладі вектора швидкості. Вектор швидкості точкового (в шкільному курсі фізики і будь-якого твердого) тіла має 3 компоненти, за кількістю вимірів простору. Зазвичай його зображують стрілкою, прикріпленою до тіла і радіус-вектором на малюнках. Треба пояснити, що поняття радіус-вектора не є точним еквівалентом поняття вектора, тому що радіус-вектор пов'язаний не з однією точкою, а завжди з двома. Однак, поняття вектора в даній точці виходить в результаті граничного переходу з поняття радіус-вектора при прагненні другий точки до обраної. І, крім того, в евклідовому просторі обидва поняття часто взаємозамінні, принаймні при графічному зображенні. Можете перевірити, що правило паралелограма складання векторів дає в точності той же результат як і явним чином (по компонентно) записана їх сума в стандартній алгебри тензорів. Додавання двох векторів швидкостей (це контраваріантниє вектори): v i = u i + w i. i = 1,2,3. Для тривимірного простору вже набагато легше дати приклади тензорів і наступних рангів. Одним з таких важливих тензорів другого рангу для знайомого вам евклідового простору є метричний тензор gik. має в усіх ортогональних системах координат діагональний вигляд: gik = 1 при i = k і = 0 при i ≠ k. За допомогою цього тензора обчислюється величина будь-якого контраваріантного вектора, в тому числі, звичайно, і вектора швидкості: v 2 = Σgikv iv k. де підсумовування проводиться за всіма значеннями обох індексів, а величина v (як і v 2) є скаляром. Формула ця записує не що інше як теорему Піфагора стосовно вектору тривимірної швидкості.
Звичайно, тензори теж є геометричними об'єктами, тільки деяким їх більш окремим випадком. Тут я хочу пояснити для вас, в чому саме полягає виделенность тензорів з усіх таких осмислених наборів вимірювань, геометричних об'єктів. Тензори завжди пов'язані з конкретним об'єктом. Геометричні об'єкти з законом перетворення, відмінним від тензорного пов'язані зі змінними об'єктами, в одній процедурі вимірювань (системі координат) вони говорять про один об'єкт, а в іншій - про інше. Тензори і операції з ними дають спосіб, не надто замислюючись і завжди правильно, оперувати з результатами вимірювання властивостей виділених об'єктів. Звичайно, якщо ми правильно розуміємо сенс кожного використовуваного нами тензора. Але це вже питання не математики, а інтерпретації, застосування математики до реального світу.
Ну ось, здається загальну ідею тензора і чому їх використання зручно, а головне, важливо і неминуче, я прояснив.