Швидке обчислення синусів
Табулювання синусів, аргументи яких складають частку окружності одиничного радіуса, не є досягненням сьогоднішнього дня, а було досить розвинене ще 1800 років тому Птолемей. Більш ефективна процедура обчислення синусів в порівнянні з використанням вбудованих програм, що реалізуються розробниками ЕОМ, може бути вивчена виходячи з досвіду попередніх століть.
Ідея Птолемея полягала в переході від грубого до точного розбиття кола. З теорії правильних багатокутників відомо, що довжини хорд, що стягають дуги з центральними кутами 60 і 12 °, відповідно рівні, де - довжина хорди, що стягує дугу з центральним кутом для окружності одиничного радіуса. Згідно витонченої теоремі Птолемея, довжина хорди, відповідної різниці заданих центральних кутів, може бути отримана зі співвідношення
За відомими значеннями Птолемей міг, таким чином, оцінити, а також довжини хорд для центральних кутів, кратних 12 °. Що виходять при цьому таблиця еквівалентна таблиці, складеної з синусів кутів, кратних 6 °.
Відповідно до теореми Птолемея стверджується, що для чотирикутника довільної форми (рис. 8.6), вершини якого лежать на окружності з центром О, має місце рівність Для чотирикутника, що має прямокутну форму, як окремий випадок отримуємо теорему Піфагора. При отримуємо теорему Птолемея для синуса різниці кутів.
Табличні дані для кута 12 ° стосовно до позначень, прийнятим в цій книзі, відповідають випадку. Для переходу до більш дрібному розбиття кола Птолемей ввів в розгляд метод, еквівалёнтний методу визначення довжини хорди,
Мал. 8.6. Теорема Птолемея: AC • BD = AB • CD + AD • BC.
стягивающей половину дуги:
який дозволив отримати результати аж до кута 0,75 ° і кратних йому значень, що відповідає N = 480. Цей метод не придатний для кутів, кратних 1 °. Однак Птолемей виходив з нерівності
З урахуванням того, що з системи цих двох нерівностей можна зробити висновок:
Так як відмінність правої і лівої частин починає проявлятися з шостого десяткового знака, це грубе наближення, але можна підвищити точність обчислень, розвинувши метод Птолемея.
Цікавим видається висновок для хорди, що стягує дугу 1 ° (або для), подальше застосування правила розбиття на дві рівні частини дозволило Птолемею скласти таблицю довжин хорд для інтервалів, які прямують через 0,5 ° (для синуса - через кожні 0,25 °), з точністю до п'ятого десяткового знака. Так як ця таблиця відповідає випадку вона відповідає вимогам програм обчислення ШПФ, використовуваних в даний час.
Якщо складання таблиці почати з елементів тобто для 0, які прямують через інтервали 22,5 °, то можна перейти до таблиці, складеної з елементів, які прямують через 11,25 °, шляхом обчислення синусів кожного з проміжних значень аргументу 0 виходячи з певних значень функції Формула для різниці має вигляд
Поправочний коефіцієнт може бути отриманий з формули, яка визначає довжину хорди, що стягує половину початкової дуги; для цієї формули вихідною величиною є: Таким чином:
Ця реккурентная формула використовується в програмі наведеною в додатку 1.
Складання таблиці косинусів являє собою окреме питання. У наступному розділі буде показано, що доцільно розташовувати таблицею значень При наявності такої таблиці косинуси можуть бути отримані зі співвідношення
Однак немає необхідності заздалегідь обчислювати косинуси в явному вигляді, так як замість цього можна використовувати тангенси половинних кутів, що і доцільно здійснювати на практиці.