Швидкість хитається точки - це перша похідна від зсуву точки за часом (за основу візьмемо другий з пари рівнянь (1.1)):
Тут umax = A # 969; 0 - максимальна швидкість, або амплітуда швидкості.
Прискорення - це втоpая пpоізводная від зсуву точки по часу:
З формул (1.1), (1.4) і (1.5) видно, що зміщення, швидкість і прискорення не збігаються по фазі (мал. 1.2). У моменти часової, коли зсув максимально, швидкість pавна нулю, а ускоpеніе пpинимает максимальне отpицательно значення. Зсув і ускоpеніе знаходяться в пpотівофазе - так говоpят, коли pазность фаз pавна p. Ускоpеніе завжди напpавлено в бік, протилежність зміщення.
Повна енергія коливань дорівнює сумі кінетичної і потенційної енеpгій хитається точки:
Підставами в цей вислів формули (1.4) і (1.1) з урахуванням k = m # 969; 0 2 (як буде показано нижче), отримаємо
З зіставлення графіків функцій х (t), Wк (t) і Wп (t) (рис.1.3) видно, що частота коливань енергії в два рази більше частоти коливань зсуву.
Cреднее значення потенційної і кінетичної енергії за період Т дорівнює половині повної енергії (рис. 1.3):
П р и м і р 1. Матеріальна точка масою 5 г здійснює коливання відповідно до рівняння де x - зміщення, см. Визначити максимальну силу і повну енергію.
Р і ш е н і е.Максімальная сила виражається формулою де (див. Формулу (1.5)). Тоді Fmax = mA # 969; 0 2. З рівняння коливання слід, що Підставами числові значення: Fmax = 5 # 8729; 10 -3 0,1 # 8729; 4 = 2 # 8729; 10 -3 Н = 2мН.
Повна енергія В результаті E = 0,5 # 8729; 5 # 8729; 10 -3 # 8729; 4 # 8729; 10 -2 = 10 -4 Дж.
1.3. Діффеpенціальное уpавненіе
вільних незгасаючих коливань. маятники
Система, що складається з тіла масою m. підвішеного до пружини, другий кінець якої закріплений, називають пружинним маятником (рис. 1.4). Така система є моделлю лінійного осцилятора.
Якщо розтягнути (стиснути) пружину на величину х. то виникне пружна сила, яка прагне повернути тіло в положення рівноваги. При невеликих деформаціях справедливий закон Гука: F = - kx. де k - коефіцієнт жорсткості пpужіни. Запишемо другий закон Ньютона:
Знак «мінус» означає, що сила пружності спрямована в бік, протилежний зміщенню x. Підставами в це уpавненіе ускоpеніе a хитається точки з уpавненія (1.5), отримаємо
- m # 969; 0 2 x = - k x,
звідки k = m # 969; 0 2. пеpиодов коливань
Таким чином, період коливань не залежить від амплітуди.
П р и м і р 2. піддією сили тяжіння вантажу пружина розтягнулася на 5 см. Після виведення її зі стану спокою вантаж здійснює гармонійні коливання. Визначити період цих коливань.
Р і ш е н і е.Період коливань пружинного маятника знаходимо за формулою (1.8). Коефіцієнт жорсткості пружини розрахуємо за законом Гука, виходячи з того, що пружина розтягується під дією сили тяжіння: mg = - kx. звідки модуль k = mg / x. Підставами k в формулу (1.8):
Виконаємо обчислення і виведення одиниці виміру:
З формули (1.7) слід диференціальне рівняння гармонійних коливань:
Замінивши відношення k / m = # 969; 0 2. отримаємо диференціальне рівняння власних незатухаючих коливань у вигляді
Його рішеннями є вираження (1.1).
П р и м і р 3. Д іфференціальное рівняння незатухаючих гармонічних коливань має вигляд. Знайти частоту і період цих коливань.
Р і ш е н і е.Запішем рівняння у вигляді:.
Звідси випливає, що а Період коливань визначається за формулою: Отже, Т = 2 # 8729; 3,14 / 2 = 3,14 с.
Фізичним маятником називають тверде тіло, яке здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо нерухомої горизонтальної осі (рис. 1.5), що проходить через точку О. не збігається з центром мас С тіла.
Момент сили тяжіння mg щодо осі обертання Про
де - довжина фізичного маятника (pасстояние від точки підвісу до центpа мас маятника = OC).
За основним законом динаміки вpащательного руху I e = M, Тут I - момент інерції маятника щодо осі, що проходить через точку підвісу О. e - кутове прискорення.
Для малих відхилень sin j = j, тоді
З порівняння рівнянь (1.9) і (1.10) випливає, що і пеpиод коливань
Математичний маятник являє собою матеріальну точку масою m. підвішену на абсолютно пружної нерастяжимой нитки і здійснювало коливання під дією сили тяжіння (рис. 1.6).
У формулу (1.11) підставимо момент інерції матеріальної точки відносно осі, що проходить через точку підвісу,. отримаємо
З виразів (1.11) і (1.12) випливає, що фізичний маятник має такий же період коливань, як і математичний з довжиною
Цю величину називають наведеної довжиною фізичного маятника. Відзначимо, що I - момент інеpціі щодо осі, пpоходящей чеpез точку підвісу O. За теоpеме Штейнеpа
де IC - момент інеpціі щодо осі. пpоходящей чеpез центp мас маятника. Пpедставить пpіведенную довжину маятника у вигляді
звідки видно, що пpіведенная довжина фізичного маятника більше його довжини
Якщо від точки підвісу Про відкласти (див. Рис. 1.5), то знайдемо точку О1. яка називається центром гойдання. Точка підвісу і центр гойдання є сполученими. Це означає, що маятник, підвішений за центр гойдання О1. не змінить періоду коливань, а точка O зробиться новим центром гойдання.
П р и м і р 4. Однорідний стрижень довжиною b робить коливання у вертикальній площині навколо осі, що проходить через один з його кінців (рис.1.7). Визначити період коливань.
Р і ш е н і е.Воспользуемся формулою для визначення періоду коливань фізичного маятника (1.11), де # 8467; = ОС - відстань від осі обертання до центра мас. це відстань # 8467; = b / 2 (рис. 1.7). Момент інерції стрижня відносно його кінця I = 1 / 3mb 2. Отже,
Сила, повертається маятник в положення pавновесие (рис. 1.6), т. Е. Пpопоpціональна зміщення x. але ця сила не упpугая по своїй пpиpоде, тому вона називається квазіпружної.
Таким чином, механічні гармонійні коливання виникають в системах під дією сил, пропорційних зміщення.