У прикладних задачах кути вимірюють в градусах, а в теоретичних науках в радіанах. Один радіан - це приблизно \ (57 ^ \ circ \), а в одному повному обороті рівно \ (2 \ pi \) радіан. За визначенням, Радіанна міра кута - це відношення довжини дуги кола з центром у вершині кута, укладеної в цьому вугіллі, до її радіусу. Тому, якщо тіло рухається по колу радіуса \ (r \) з кутовий швидкістю \ (\ omega \) (тобто за час \ (dt \) проходить кут \ (\ omega dt \)), то його швидкість \ (v = \ omega r \).
Якщо мова йде про якомусь твердому тілі, яке може обертатися як завгодно, то кутової швидкості слід приписати напрям. Вона паралельна осі обертання і спрямована в ту сторону, в яку закручується б штопор, якби тіло було їм. Тоді швидкість якоїсь точки на цьому тілі з радіус вектором \ (\ vec r \) буде виражатися через векторний добуток (нехай ми знаходимося в системі центру мас тіла) \ (\ vec v = [\ vec \ omega \ times \ vec r ] \). У напрямку вона перпендикулярна кутової швидкості, тобто осі обертання, і радіус-вектору, який з'єднує цю точку з початком координат, через яке проходить вісь обертання. Таким чином швидкість лежить в площині, перпендикулярній осі обертання. За абсолютною величиною швидкість \ (v = \ omega \ rho \), де \ (\ rho \) - це відстань до осі обертання.
Давайте відповімо на питання: чим відрізняється рух тіл з точки зору двох обертових один щодо одного спостерігачів. Наприклад, перший спостерігач, це ви, і ви перебуваєте на Землі, яка обертається навколо своєї осі. А другий спостерігач - це я, але я перебуваю на Марсі (Марс, звичайно, теж рухається щодо Землі, але набагато повільніше, ніж обертається сама Земля, тому ми цим пренебрежем). Початку відліку обох систем нехай будуть в центрі Землі. Всі вектори у вашій системі відліку будемо позначати як зазвичай, а в моїй будемо додавати штрих \ ( '\).
Один і той же вектор бачиться вам і мені по-різному, тобто має різні координати, так як координатні осі у нас різні. Наприклад, вектор \ (\ vec r \) намальований у вас в зошиті для вас спочиває і завжди спрямований у одну і ту ж сторону (поки зошит лежить на місці), а для мене цей вектор \ ((\ vec r) '\) не просто спрямований в інший бік, він ще і повільно обертається разом з усією Землею. Тобто \ (\ vec r \ neq (\ vec r) '\). Проте це один і той же вектор, що з'єднує дві точки простору. Але інакше справа йде зі швидкістю.
Швидкість зміни вектора у вашій зошити для вас нуль, а для мене не нуль. Нуль-вектор є нуль-вектором, як на нього не дивись, тому ми не просто по-різному бачимо швидкість зміни, ми бачимо різні швидкості. Розглянемо радіус-вектор якого-небудь тіла, тобто вектор, що з'єднує з ним центр Землі. Так як всі, що покоїться для вас, що означає \ (\ frac \ vec r = 0 \). для мене рухається зі швидкістю \ (\ frac (\ vec r) '= [\ vec \ omega \ times (\ vec r)'] \). Кутову швидкість Штрихована не треба, так як вісь обертання одна і та ж з обох точок зору. Тоді і для рухомих точок Верона, що
\ [\ Frac (\ vec r) '= \ Big (\ frac \ vec r \ Big)' + [\ vec \ omega \ times (\ vec r) '] \]
Це головне рівняння, воно вірно для будь-якого вектора. Воно й означає, що вектор швидкості, який бачу я (ліва частина) відрізняється від вектора швидкості, яку бачите ви, нехай і перенесеного в мою систему відліку (перший доданок в правій частині), на добавку, про яку ми вже писали (другий доданок в правій частині).
Продифференцируем цей вислів ще раз і отримаємо:
З перших складових в правій частині вчинимо так само, як вчинили з радіус-вектором, тобто підставами в головне рівняння \ (\ frac \ vec r \) замість \ (\ vec r \) і отримаємо:
\ [\ Frac \ Big (\ frac \ vec r \ Big) '= \ Big (\ frac \ vec r \ Big)' + \ Big [\ vec \ omega \ times \ Big (\ frac \ vec r \ Big) '\ Big] \]
У другому доданку варто \ (\ frac (\ vec r) '\), яке ми вже знайшли. А що стоїть в лівій частині? Прискорення. Так як моя система відліку більш-менш інерціальна, на відміну від вашої обертається, можна скористатися другим законом Ньютона, що зв'язує прискорення і силу, що діє на тіло: \ ((\ vec F) '= m \ frac (\ vec r)' \ ). В результаті отримаємо:
\ [(\ Vec F) '= m \ Big (\ frac \ vec r \ Big)' + 2m \ Big [\ vec \ omega \ times \ Big (\ frac \ vec r \ Big) '\ Big] + m \ Big [\ vec \ omega \ times \ big [\ vec \ omega \ times (\ vec r) '\ big] \ Big] \]
Останній штрих - знімемо штрихи. Дійсно, це рівність векторів, і воно вірно з будь-якої точки зору. До речі, саме заміна прискорення на силу дозволяє нам зняти штрих.
\ [\ Vec F = m \ frac \ vec r + 2m \ Big [\ vec \ omega \ times \ frac \ vec r \ Big] + m \ Big [\ vec \ omega \ times \ big [\ vec \ omega \ times \ vec r \ big] \ Big] \]
І останній штрих - введемо стандартні позначення для швидкості і прискорення:
\ [\ Vec F = m \ vec a + 2m \ big [\ vec \ omega \ times \ vec v \ big] + m \ Big [\ vec \ omega \ times \ big [\ vec \ omega \ times \ vec r \ big] \ Big] \]
Це рівняння показує, що в неінерціальної системи відліку другий закон Ньютона не виконується. Однак можна змусити його формально виконуватися, якщо ввести додаткові інерційні сили, що діють на всі тіла. Це сила Коріоліса
\ [\ Vec F_ \ text = -2m [\ vec \ omega \ times \ vec v] \]
і відцентрова сила
\ [\ Vec F_ \ text = -m [\ vec \ omega \ times [\ vec \ omega \ times \ vec r]] \].
Що вони з себе представляють?
Почнемо з відцентрової. Розглянемо вираз \ (\ frac \ vec \ omega \) - це та частина вектора \ (\ vec r \), яка паралельна осі обертання. Якщо її відняти від нього, то залишиться перпендикулярна частина. Помножимо її на квадрат кутової швидкості і отримаємо \ (\ omega ^ 2 \ vec r - (\ vec \ omega \ vec r) \ vec \ omega \), що за формулою «бац мінус ЦАБ» згортається в наше відцентрове прискорення \ (- [\ vec \ omega \ times [\ vec \ omega \ times \ vec r]] \). Таким чином, відцентрова сила дорівнює добутку квадрата кутової швидкості на відстань до осі обертання і спрямована в бік від осі обертання, тому вона і відцентрова.
Порахуємо її. Земля робить оборот навколо своєї осі за \ (T \ approx8, \! 6 \ cdot10 ^ 4 \ text \), значить кутова швидкість приблизно \ (\ omega = 2 \ pi / T \ approx7, \! 3 \ cdot10 ^ \ text ^ \). Радіус Землі \ (R = 6, \! 4 \ cdot10 ^ 6 \ text \). Разом \ (F_ \ text = m \ omega ^ 2R \ approx m \, 3, \! 4 \ cdot10 ^ \ text / \ text ^ 2 \). Це в триста разів менше прискорення вільного падіння, і це максимальне значени на екваторі. До речі, через це і саме на таку частку, розрізняються полярний і екваторіальний радіуси Землі. Проте, це перенбрежімо мала величина. Центрифуги дозволяють отримати прискорення до мільйона \ (g \).
Коріолісова сила куди цікавіше. Вона діє тільки на рухомі тіла і діє в бік. У північній півкулі вона тягне в право (якщо ви рухаєтеся паралельно поверхні Землі не долілиць головою). На екваторі вона тягне вгору, якщо рухатися на схід. Вона теж дуже мала на Землі. Уявімо собі повітряна куля з ідеальною плавучість (архимедова сила компенсує силу тяжіння), який рухається уздовж екватора на захід зі швидкістю обертання Землі \ (v = \ omega R \ approx470 \ text / \ text \), Коріоліс в двоє перевищить відцентрову силу, але направлений буде проти неї, тобто вниз. Він повідомить кулі прискорення, яке ми називаємо доцентрові. Це таке прискорення \ (a_ \ text = v ^ 2 / R \), яке дозволяє рухатися по колу радіуса \ (R \) зі швидкістю \ (v \), що і робить кулю. А з мій точки зору (я знову на Марсі), ніяких інерційних сил на кулю не діє, а він просто висить на одному місці, тому і ні в якому доцентровому прискоренні немає потреби.
Незважаючи на те, що коріолісова сила на два, три, а то й чотири порядки менше сили тяжіння, її особливий характер (спрямованість в бік) призводить до цікавих і важливих наслідків. Циклони і антициклони закручуються завдяки цій силі. Дійсно, якщо десь на Землі зменшується тиск, туди спрямовується повітря, сила Коріоліса, діючи вправо з північній півкулі, закручує ці потоки проти годинникової стрілки. Далі йдуть більш складні процеси, пов'язані з конденсацією і випаровуванням води, тертям об поверхню і ін. В результаті виходять такі грандіозні і непередбачувані явища як урагани або тайфуни.
До речі, те саме відбувається і з водою в океані. Коріолісова сила від частини керує також і морськими течіями. А ось її вплив на стік води в раковині - міф. Так як причина сили Коріоліса - обертання Землі, щоб зрозуміти, виявляється вона істотний вплив на якийсь процес теж пов'язаний з обертанням, необхідно порівняти дві кутові швидкості. Вода в раковині обертається набагато швидше Землі, тому Коріоліс тут ні до чого.
Розмірковуючи тут про інерційних сил, ми так вільно використовували той факт, що Земля обертається навколо власної осі, а адже для людей до Ньютона це було зовсім не очевидно. Механіка Ньютона добре узгоджувалася з припущенням про обертається Землі, але мабуть першим експериментальним доказом послужив маятник Фуко. По суті, це звичайний математичний маятник, правда дуже великий. Похитуючись з боку в бік, він відчуває дію сили Коріоліса, яка штовхає його в бік і тим самим обертає площину коливань. Тобто, якщо спочатку він розгойдувався з заходу на схід, то через деякий час коливання плавно перейдуть у площину північ-південь, потім назад і так далі. Ви краще зрозумієте, чому це відбувається, якщо переміститеся до мене на Марс. Уявіть, що маятник Фуко встановлений на північному полюсі. У цьому випадку йому буде абсолютно все одно, що відбувається з Землею, це площина коливань буде залишатися на місці. Землянам ж буде здаватися, що площину маятника обертається з періодом в одну добу. Якщо перемістити маятник ближче до екватора, його рух ускладниться, а період збільшиться.
Ще один цікавий факт пов'язаний з Коріоліса, одним з головних аргументів противників гіпотези про добовому обертанні Землі було твердження, що, якби Земля оберталася, то тіло кинуте вертикально вгору впало б значно західніше місця кидка. Ви, напевно, скажете, що це дурість, згадайте про суперпозицію двох рухів (горизонтального і вертикального), і вибачте цю помилку самому Аристотеля. Яке ж буде ваше здивування, коли ви дізнаєтеся, що це від частини правда, тіло приземлиться трохи західніше, і виною тому сила Коріоліса. Забавно, що якщо кинути тіло вертикально вниз з високої вежі, воно приземлиться трохи східніше, ніж очікується. Ось такий Кориолис. До речі, останній факт був припущений Галілеєм і доведений Ньютоном за півтора століття до суворого доведення теореми Коріоліса про рух в неінерційних системах відліку.
Отже, ми розглянули один з видів неінерціальна систем відліку - рівномірно обертаються системи. У них для компенсації відхилень від другого закону Ньютона вводяться інерціальні сили: коріолісова і відцентрова. Для більш складних випадків систем прискорено рухаються і обертально, і поступально інерційних сил буде більше, цілих п'ять. Але їх висновок нічим принципово не відрізняється від зробленого нами. Попрактикуйтесь з цим самі.
А ще вирішите наступне завдання. Уявіть, що ви перебуваєте на обертається каруселі і рухаєтеся від периферії до центру. Відцентрові сили тягнуть вас назад до периферії, тому вашим кінцівкам доводиться здійснювати роботу, тобто ви втрачаєте енергію. Питання: куди дівається ця енергія, і яким чином це відбувається?