Рішення багатьох задач елементарної алгебри значно полегшується, якщо використовувати симетричність умови задачі. У цій книзі розповідається, як використовувати симетрію при вирішенні систем рівнянь, ірраціональних рівнянь, нерівностей і т. Д. Всі ці завдання вирішуються однаковим методом, заснованим на теорії симетричних многочленів.
Книга буде корисна школярам, які готуються до конкурсних іспитів, студентам педінститутів і вчителям математики.
Мета цієї книги познайомити читача з одним досить загальним методом вирішення систем рівнянь вищих ступенів. Він не настільки універсальний, як метод виключення, так як може бути застосований не до всякої системі. Однак цей метод можна застосовувати до більшості систем, з якими стикається школяр. Істотно, що, на відміну від методу виключення, він призводить не до підвищення, а до зниження ступеня рівнянь.
Метод, про який йде мова, заснований на використанні теорії так званих симетричних многочленів. Читач побачить, що сама теорія дуже проста і що вона дозволяє вирішувати не тільки багато систем алгебраїчних рівнянь, а й різні інші алгебраїчні завдання (рішення ірраціональних рівнянь, доказ тотожностей і нерівностей, розкладання на множники і т. Д.). Ряд завдань цих типів буде розібраний в тексті книги, а в кінці кожного розділу читач знайде завдання для самостійного рішення. Серед цих завдань є і вельми важкі; деякі з них пропонувалися на математичних олімпіадах. За допомогою теорії симетричних многочленів рішення цих задач помітно спрощується і, що найголовніше, проводиться стандартним прийомом.
ЗМІСТ
введення 5
§ 1. Симетричні многочлени від x і y 8
1. Приклади симетричних многочленів (8). 2. Основна теорема про симетричні многочленах від двох змінних (9). 3. Вираз статечних сум через s1 і s2 (11). 4. Доказ основної теореми (12). 5. Теорема єдиності (13). 6. Формула Варингу (15).
§ 2. Застосування до елементарної алгебри. I 17
7. Рішення систем рівнянь (17). Вправи (22). 8. Введення допоміжних невідомих (23). Вправи (25). 9. Завдання про квадратних рівняннях (26). Вправи (27). 10. Нерівності (28). Вправи (31). 11. Зворотні рівняння (31). Вправи (37). 12. Розкладання симетричних многочленів на множники (37). Вправи (41). 13. Різні завдання (41). Вправи (42).
§ 3. Симетричні многочлени від трьох змінних. 43
14. Визначення і приклади (43). 15. Основна теорема про симетричні многочленах від трьох змінних (44). 16. Вираз статечних сум через s1, s2, s3 (46). 17. Орбіти одночленним (47). 18. Доказ основної теореми (52). Вправи (52). 19. Формула Варингу (53).
20. Зворотні статечні суми (54).
§ 4. Застосування до елементарної алгебри. II 55
21. Рішення систем рівнянь з трьома невідомими (55). Вправи (62). 22. Розкладання на множники (62). Вправи (64). 23. Доказ тотожності (65).
Вправи (69). 24. Нерівності (71). Вправи (72). 25. Звільнення від ірраціональності в знаменнику (73). Вправи (79).
§ 5. Антісімметріческіе многочлени від трьох змінних. 80
26. Визначення і приклади (80). 27. Основна теорема про антісімметріческіх многочленах (81). Вправи (83). 28. Дискримінант і його застосування до дослідження коренів рівняння (83). Вправа (88). 29. Застосування дискримінанту до доведення нерівностей (88). Вправа (90). 30. Парні і непарні перестановки (90). 31. парне-симетричний многочлен (92).
§ 6. Застосування до елементарної алгебри. III 94
32. Розкладання на множники (94). Вправи (96). 33. Доказ тотожності і спрощення алгебраїчних виразів (97). Вправи (98). 34. Розкладання симетричних многочленів від трьох змінних на множники (99). Вправи (103).
§ 7. Симетричні многочлени від декількох змінних 103
35. Елементарні симетричний многочлен від декількох змінних (103). 36. Основна теорема про симетричні многочленах від декількох змінних (106). 37. Вирази статечних сум через елементарні симетричні многочлени (108). Вправи (110). 38. Елементарні симетричний многочлен від n змінних і алгебраїчні рівняння n-го ступеня. Теорема Вієта (111). Вправи (113). 39. Метод невизначених коефіцієнтів (113). Вправи (117). 40. Словникове розташування многочленів; старші члени (117). 41. Відбір доданків многочлена f (s1, s2. Sn) за допомогою старших членів (119). 42. Антісімметріческіе многочлени від n змінних (122). Вправи (125). 43. Загальний метод звільнення від ірраціональності знаменнику (126).
44. Витяг коренів за допомогою симетричних многочленів (132).
доповнення
Деякі відомості про алгебраїчних рівняннях вищих ступенів 136
45. Теорема Безу (136). Вправи (137). 46. Знаходження цілих коренів многочленів з цілими коефіцієнтами (137). Вправи (140). 47. Знаходження цілих комплексних коренів (140). Вправи (141). 48. Основна теорема алгебри і розкладання многочленів на множники першої
ступеня (142).
рішення 145