Скорочення і «розширення» дробу, порівняння дробів; приведення до спільного знаменника, математика

Скорочення і «розширення» дроби

Величина дробу не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу помножити на одне і те ж число.
наприклад,

Таке перетворення дробу називається «розширенням» дробу. Дріб отримана розширенням на 6 з дробу

Величина дробу не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу розділити на одне і теж число.

Наприклад Таке перетворення називається скороченням дробу.

Дріб можна скоротити тільки в тому випадку якщо чисельник і знаменник мають однакові дільники (тобто якщо вони не взаємно прості). Скорочення можна робити поступово або відразу на НОД.

Приклад: Скоротити дріб Застосовуючи ознака подільності на 4, бачимо що 4 є спільний дільник чисельника і знаменника. Скорочуючи на 4 маємо

27 і 36 мають загальний дільник 9, скорочуємо на 9 маємо Подальше скорочення неможливо (3 і 4 - взаємно прості числа).

Той же результат ми отримаємо, якщо знайдемо НОД чисел 108 і 144. Він дорівнює 36. Скоротивши на 36 отримаємо

Після скорочення на НОД виходить нескоротний дріб

Порівняння дробів; приведення до спільного знаменника

З двох дробів з однаковими чисельником більше та дріб, у якої знаменник менше. наприклад:
;

З двох дробів з однаковими знаменником більше та дріб, у якої чисельник більше.
наприклад:

Щоб порівняти два дроби, у яких різні і чисельник і знаменник, потрібно одну або обидві дробу перетворити так, щоб їх знаменники стали однаковими. Для цього можна, наприклад, перший дріб розширити на знаменник другого, а другу - на знаменник першої.

Приклад. Порівняємо дробу Розширюємо перший дріб на 12, а другу на 8; маємо:

Тепер знаменники однакові. Порівнявши числители, бачимо, що друга дріб більше першої.

Застосоване перетворення дробів називається приведенням їх до спільного знаменника.

Щоб привести до спільного знаменника кілька дробів, можна кожну з них розширити на твір знаменників інших. Наприклад, щоб привести до спільного знаменника дроби

розширимо першу на 5 · 6 = 30, другу 8 · 5 = 40, третю 8 · 6 = 48.

Отримаємо Спільним знаменником буде твір знаменників усіх даних дробів (8 · 6 · 5 = 240).

Цей спосіб приведення до спільного знаменника найпростіший і в багатьох випадках самий практичний. Єдине його незручність полягає в тому, що загальний знаменник може виявитися досить великим, тоді як можна вибрати його меншим. Саме, за спільний знаменник можна взяти будь-яке спільне кратне (зокрема, НОК) даних знаменників. Тоді потрібно розширити кожну дріб на приватне, одержуване від ділення загального кратного на знаменник взятої дробу (це приватна називається додатковим множником).

Приклад дані дроби НОК знаменників 8, 6, 5 = 120. Додаткові множники: 120: 8 = 15; 120: 6 = 20; 120: 5 = 24. Розширюємо перший дріб на 15, другу на 20, третю на 24. Отримуємо

Схожі статті