стискуюче відображення

Попередня ↔ Наступна

Стискуюче відображення - відображення метричного простору в себе, що зменшує відстань між будь-якими двома точками не менше ніж в

\ Alpha> 1

раз. Згідно з теоремою Банаха. у стискає відображення повного метричного простору в себе існує нерухома точка, причому рівно одна. Це твердження, також зване «принципом стискають відображень», широко використовується при доказі різних математичних тверджень.

визначення

Нехай на метричному просторі $(\ Mathbb, \ rho)$ визначений оператор $A: \ mathbb \ to \ mathbb$ . Він називається стискає на $\ mathbb$ , якщо існує таке невід'ємне число $\ alpha<1$ , що для будь-яких двох точок $x, y \ in \ mathbb$ виконується нерівність

безперервність

нехай $(\ Mathbb, \ rho)$ - метричний простір і $\ mathbb<>A$ - стискаючий оператор на $\ mathbb$ . тоді $\ mathbb<>A$ - безперервна функція на $\ mathbb$ .

Візьмемо довільний елемент $\ In \ mathbb$ . Треба довести (за визначенням безперервності функції), що для $\ Forall \ varepsilon> 0 \ quad \ exists \ delta> 0:$ для $\ Forall \ in \ mathbb: \ rho (a, x)<\delta\to$ . Для стискає оператора достатньо взяти $\ Delta = \ varepsilon: \ rho (Aa, Ax) \ leqslant \ alpha \ cdot$ .

нерухома точка

По теоремі Банаха у стискає відображення на повному метричному просторі існує єдина нерухома точка.

ітераційна послідовність

Якщо взяти довільний елемент метричного простору $x$ і розглянути послідовність елементів $x, Ax, A ^ 2x.$ , то ця итерационная послідовність буде сходитися до нерухому точку оператора $A$ .

стискуюче відображення

визначення

безперервність

нерухома точка

ітераційна послідовність

застосування

Схожі статті