Суми за переходами важливі в структурній теорії графів, де вони використовуються для опису деяких сімейств графів як графів, утворених сумою за переходами графів меншого розміру. Першим результатом такого типу [3] була теорема # 8197; Вагнера [4]. який довів, що графи, які містять повних графів з п'ятьма вершинами в якості мінору. є сумою по 3-кліках планарних # 8197; графів з графом # 8197; Вагнера. За допомогою цієї структурної теореми можна показати, що проблема # 8197; чотирьох # 8197; фарб еквівалентна нагоди k = 5 гіпотези # 8197; Хадвігера. Хордальние # 8197; графи - це в точності графи, які можна утворити як суми клік по кліках без видалення ребер, а стислі графи [en] - це графи, які можна утворити як суми без видалення ребер за переходами клік і максимальних планарних графів [en ] [5]. Графи, в яких будь-який породжений # 8197; цикл довжини чотири або більше утворює мінімальний розділяє підграф (після його видалення граф розпадається на дві або більше незв'язні компоненти, і ніяке підмножина циклу не має той же властивостей), є в точності сумами за переходами клік і максимальних планарних # 8197; графів. знову без видалення ребер [6]. Джонсон і Маккі [7] використовували суми за переходами хордальних графів і паралельно-послідовних графів для опису частково певних [8] матриць. мають позитивно # 8197; певне доопределение.
Можна отримати розкладання за сумами за переходами для будь-якого сімейства графів, замкнутого щодо операції мінору - графи в будь-якому мінорно-замкнутому сімействі можуть бути утворені з сум за переходами графів, які «майже вкладені» на поверхні кінцевого # 8197; роду. що означає, що вкладення дозволено щоб уникнути невеликого числа дахів (вершин, які можна з'єднати з довільним число інших вершин) і воронок (графи з вузькою шляховий шириною [en]. замінюють межі при вкладенні на поверхню) [9]. Ці описи використовувалися як важливий засіб при побудові апроксимаційних # 8197; алгоритмів і субекспоненціальное за часом точних алгоритмів для NP-повних # 8197; завдань оптимізації на мінорно-замкнутих родинах графів [10] [11] [12].
Теорію сум за переходами можна узагальнити від графів до матроід. Теорема розкладання Сеймура описує регулярні матроід [en] (матроід, що представляють цілком # 8197; унімодулярние # 8197; матриці) як 3-суми графічних # 8197; матроідов (матроід, що представляють остовне дерева), кографіческіе матроід і деякі 10-елементні матроід [13 ].