Мал. 4. Десять членів розкладання
Щоб отримати найбільш точне значення функції при найменшій кількості членів розкладання треба у формулі Тейлора в якості параметра а вибрати таке число, яке досить близько до значення х. і значення функції від цього числа легко обчислюється.
Для прикладу обчислимо значення sin20 0.
Попередньо переведемо кут 20 0 в радіани: 20 0 = p / 9.
Застосуємо розкладання в ряд Тейлора, обмежившись трьома першими членами розкладання:
У чотиризначних таблицях Брадіса для синуса цього кута вказано значення 0,3420.
На графіку показано зміну значень розкладання в ряд Тейлора в залежності від кількості членів розкладання. Як видно, якщо обмежитися трьома членами розкладання, то досягається точність до 0,0002.
Ми вже наголошували, що при х®0 функція sinx є нескінченно малою і може при обчисленні бути замінена на еквівалентну їй нескінченно малу функцію х. Тепер видно, що при х, близьких до нуля, можна практично без втрати в точності обмежитися першим членом розкладання, тобто sinx @ x.
Приклад: Обчислити sin28 0 13 ¢ 15 ¢¢.
Для того, щоб уявити заданий кут в радіанах, скористаємося співвідношеннями:
Якщо при розкладанні по формулі Тейлора обмежитися трьома першими членами, отримаємо: sinx =.
Порівнюючи отриманий результат з більш точним значенням синуса цього кута,
бачимо, що навіть при обмеженні всього трьома членами розкладання, точність склала 0,000002, що більш ніж достатньо для більшості практичних технічних завдань.
Отримуємо: f (x) = ln (1 + x); f (0) = 0;
Для запуску програми двічі клацніть на значку
Примітка: Для запуску програми необхідно щоб на комп'ютері була встановлена програма Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.
Теореми про повну загальну середню.
(Ролль (1652-1719) - французький математик)
Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], диференційована на інтервалі (а, b) і значення функції на кінцях відрізка рівні f (a) = f (b), то на інтервалі (а, b) існує точка e, a Геометричний сенс теореми Ролля полягає в тому, що при виконанні умов теореми на інтервалі (a, b) існує точка e така, що у відповідній точці кривої y = f (x) дотична паралельна осі Ох. Таких точок на інтервалі може бути і кілька, але теорема стверджує існування принаймні однієї такої точки. Доведення. По властивості функцій, неперервних на відрізку функція f (x) на відрізку [a, b] приймає найбільше і найменше значення. Позначимо ці значення М і m відповідно. Можливі два різних випадку М = m і M ¹ m. Нехай M = m. Тоді функція f (x) на відрізку [a, b] зберігає постійне значення і в будь-якій точці інтервалу її похідна дорівнює нулю. У цьому випадку за e можна прийняти будь-яку точку інтервалу. Нехай М = m. Так значення на кінцях відрізка рівні, то хоча б одне зі значень М або m функція приймає всередині відрізка [a, b]. Позначимо e, a Df (e) = f (e + Dx) - f (e) £ 0 Але так як за умовою похідна в точці e існує, то існує і межа. Оскільки і. то можна зробити висновок: Теорема Ролля має кілька наслідків: 1) Якщо функція f (x) на відрізку [a, b] задовольняє теоремі Ролля, причому f (a) = f (b) = 0, то існує принаймні одна точка e, a 2) Якщо на даному інтервалі (а, b) функція f (x) має похідну (n-1) - го порядку і n раз звертається в нуль, то існує принаймні одна точка інтервалу, в якому похідна (n - 1) - го порядку дорівнює нулю. (Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) французький математик) Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (а, b), то на цьому інтервалі знайдеться принаймні одна точка e a Це означає, що якщо на деякому проміжку виконуються умови теореми, то відношення приросту функції до приросту аргументу на цьому відрізку дорівнює значенню похідної в деякій проміжній точці. Розглянута вище теорема Ролля є окремим випадком теореми Лагранжа. Ставлення одно кутовому коефіцієнту січною АВ. Якщо функція f (x) задовольняє умовам теореми, то на інтервалі (а, b) існує точка e така, що у відповідній точці кривої y = f (x) дотична паралельна січній, що з'єднує точки А і В. Таких точок може бути і кілька , але одна існує точно. Доведення. Розглянемо деяку допоміжну функцію Рівняння січною АВ можна записати у вигляді: Функція F (x) задовольняє теоремі Ролля. Дійсно, вона неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (а, b). По теоремі Ролля існує хоча б одна точка e, a Оскільки . то. отжеСхожі статті