Крива симетрична щодо полярної ЛСІ. Полярний кут для всієї кардіоїди змінюється від 0 до, для половини кардіоїди кут змінюється від 0 до.
2.9. Обчислення ДОВЖИНИ ДУГИ ПЛОСКОЇ КРИВИЙ
1 випадок. Нехай в прямокутних координатах на площині дана крива. Обчислимо довжину дуги кривої, укладеної між точками і (рис. 12).
Візьмемо на дузі точки з абсциссами і проведемо хорди, довжини яких позначимо відповідно. Тоді отримаємо ламану, вписану в дугу. Довжина ламаної дорівнює
Визначення. Довжиною дуги називається ту межу, до якого прагне довжина вписаною ламаною, коли довжина її найбільшого ланки прагне до нуля:
Довжина всієї дуги, укладеної між точками і, обчислюється за формулою
Приклад 16. Знайти довжину кола.
Рішення. Обчислимо спочатку довжину чверті кола, розташованої в 1 чверті.
З рівняння окрежності,.
Довжина всієї окрежності
2 випадок. Довжина дуги кривої, заданої параметоріческі:
Обчислюється за формулою
Приклад 17. Обчислити довжину окружності, заданої параметрично:
Рішення. Для всьому колу змінюється від 0 до, тоді для чверті кола змінюється від 0 до.
3 випадок. Якщо крива задана в полярних координатах, то довжина дуги кривої, укладеної між променями і (рис. 10), можна обчислити за формулою
Приклад 18. обчислити довжину кардіоїди.
Рішення. Для всієї кардіоїди полярний кут змінюється від 0 до, для половини - від 0 до.
2.10. Обчислення ОБСЯГУ ТІЛА
1 випадок. Метод паралельних перерізів.
Нехай для деякого тіла відома площа будь-якого перетину цього тіла площиною, перпендикулярно до осі (рис. 13).
Ця площа буде залежати від положення січної площини, т. Е. Буде функцією від:. Нехай неперервна функція. Проведемо площину, перпендикулярно осі через тточку ділення відрізка.
Ці площини розіб'ють тіло на шари. На кожному частковому проміжку візьмемо довільну точку і замінимо кожен шар циліндром з висотою і основою. Обсяг кожного такого циліндра дорівнює. Тоді обсяг всього ступеневої тіла буде дорівнювати сумі обсягів. Так як є безперервна функція, то існує кінцевий межа
Який називається об'ємом тіла, т. Е.
Приклад 19. Знайти об'єм ТЕОЛА, утвореного поверхнею,.
Рішення. Побудуємо це тіло (параболоїд, відсічений площиною) (рис. 14).
Проведемо переріз через довільну точку. Перетином буде коло радіуса, рівняння перетину.
Відомо, що площа кола дорівнює, отже, площа перетину, проведеного через довільну точку, дорівнює
2 випадок. Обчислення обсягу тіла обертання.
Нехай криволінійна трапеція, обмежена графіком неперервної функції, віссю і прямими,, обертається навколо осі (рис. 15).
В цьому випадку довільне сечеіне тіла площиною, перпендикулярної до осі, є коло радіуса, площа якого
Якщо крівалінейная трапеція, обмежена безперервною функцією, віссю і прямими і, обертається навколо осі, то обсяг полученногго тіла обертання можна обчислити
Приклад 20. знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі параболи, обмеженою прямий (рис. 16).
Рішення. Обсяг тіла обертання навколо осі обчислимо за формулою
У нашому прикладі,.
2.11. Наближені обчислення ПЕВНОГО ІНТЕГРАЛА
Чи не для будь-якої непрериной функції її Первісна виражається через елементарні функції. У цих випадках обчислення певних інтеггралов за формулою Ньютона-Лейбніца важко і застосовуються різні методи обчислення визначених інтегралів.
Розділимо відрізок інтегрування на парне число частин сутність методу парабол полягає в тому, що площа криволінійної трапеції, відповідної першим двом відрізкам і та обмеженою заданої кривої, замінюється площею такої криволінійної трапецією, яка зверху обмежена параболою, що проходить через 3 точки (рис. 17): ,,.
Площа параболічної трапеції на відрізку буде дорівнює
т. е. ми маємо наближена рівність
і на кожному відрізку
Підсумувавши площі параболічних трапецій, матимемо
Це і є формула Сімпсона.
Приклад. Обчислити інтеграл.
Даний інтеграл від диференціального бінома в диференціальних функцій не обчислюється.
Розділимо відрізок інтегрування на 10 рівних частин, довжина часткового відрізка