Теорема Ферма. - твердження, що для будь-якого натурального числа n> 2 рівняння x n + y n = z n (рівняння Ферма) не має рішень в цілих ненульових числах x. y. z. Теорема була сформульована П'єром Ферма приблизно в 1630 році на полях книги Діофанта "Арифметика" наступним чином: "неможливо розкласти ні куб на два куба, ні біквадрат на два біквадрата, і взагалі ніяку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником" . І далі додав: "я відкрив цьому воістину чудесний доказ, але ці поля для нього занадто малі". У паперах П'єра Ферма знайшли доказ теореми Ферма для n = 4. Нездоровий інтерес до доведення цієї теореми серед неспеціалістів в області математики був свого часу викликаний великою міжнародною премією, анульованою в кінці першої світової війни.
Передбачається, що доказ теореми Ферма взагалі не існувало.
Для n = 3 теорему Ферма довів Л. Ейлер, для n = 5 І. Дирихле і А. Лежандра, для n = 7 - Г. Ламі. Теорему Ферма досить довести для будь-якого простого показника n = p> 2, т. Е. Досить довести, що рівняння
не має рішень в цілих ненульових взаємно простих числах x. y. z. Можна також вважати, що числа x і y взаємно прості з p. При доведенні теореми Ферма розглядають два випадки: перший випадок. коли (xyz. p) = 1 і другий випадок. коли p | z. Доказ другого випадку теореми Ферма більш складно і зазвичай проводиться методом нескінченного спуску. Істотний внесок в доказ теореми Ферма вніс Е. Куммер, який створив принципово новий метод, заснований на розробленій ним арифметичної теорії кругового поля. Використовується той факт, що в поле, ліва частина рівняння (1) розкладається на лінійні множники, які є p-ми ступенями ідеальних чисел поля в першому випадку і відрізняються від p-х ступенів на множник в другому випадку. Якщо p ділить числители Бернуллі чисел B2n (n = 1, 2. (p - 3) / 2), то за критерієм регулярності p поділяє число h класів ідеалів поля і ці ідеальні числа - головні. В цьому випадку Е. Куммер довів теорему Ферма. Чи не відомо нескінченно або звичайно число регулярних чисел p (по теоремі Єнсена число іррегулярних простих чисел нескінченно). Е. Куммер довів теорему Ферма для деяких класів іррегулярних простих чисел і тим самим встановив її справедливість для всіх p
Теорема Ферма, рівняння Ферма, доказ для n = 3.