Математична запис принципу суперпозиції для електростатичного поля:
Зручним графічним зображенням поля є лінії поля або силові лінії.
Лінія поля є геометричне місце точок, в кожній з яких вектор напруженості направлений по дотичній до лінії поля.
Лінії електростатичного поля починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних (або йдуть в нескінченність). Відстань між сусідніми силовими лініями або їх «густота» розташування в просторі показує величину напруженості поля в даній околиці. Зазвичай умовляються проводити силові лінії з такою густотою, щоб число їх, що перетинають площадку площею 1. розташовану перпендикулярно лініям поля, дорівнювало Е.
Наступна дуже важлива додаткова характеристика електричного поля отримала назву «потік». Спочатку розглянемо «елементарний потік».
Елементарним потоком вектора напруженості електричного поля через елементарну площадку ds називається скалярний твір вектора на вектор нормалі і на величину майданчики ds.
Елементарної майданчиком називається частина поверхні настільки мала, що за всією цією майданчику можна вважати, що (не змінюється за величиною, не змінюється у напрямку).
Якщо проводити силові лінії з визначеної раніше густотою, то потік вектора через майданчик буде чисельно дорівнює числу силових ліній, які пронизують цей майданчик. При цьому силові лінії, що пронизують майданчик в напрямку нормалі, враховуються зі знаком плюс, а проти нормалі - зі знаком мінус.
Потік через будь-яку поверхню можна обчислити підсумовуванням (інтеграцією):
Теорема Остроградського - Гаусса та її застосування для розрахунку електростатичних полів
Закон Гаусса - один з фундаментальних законів електродинаміки - є одним з фундаментальних законів електродинаміки званих рівняннями Максвелла.
Потік вектора напруженості електричного поля через будь-яку замкнену поверхню (S0) пропорційний сумарному заряду (åqi) знаходиться всередині обсягу V (S0), обмеженого поверхнею інтегрування S0.
Запис в розшифрованому вигляді з використанням локальних характеристик:
де нулі говорять про замкнутість поверхні.
Фізичний сенс: джерелом електричного поля є заряди.
Введено позначення об'ємна щільність заряду:
де dV - елементарний об'єм; dQ - елементарний заряд.
Неважко довести теорему Гаусса для точкового заряду. При цьому замкнуту поверхню для простоти розрахунків можна взяти у вигляді сфери радіуса r. концентрической з зарядом. Це зручно, тому що у всіх точках спрямований по нормалі до поверхні і має одне і теж значення:
В цьому випадку, при обчисленні потоку постійне поле можна винести за знак інтеграла, і залишається інтеграл від елементів поверхні, рівний площі обраної сферичної поверхні:
Таким чином, справедливість теореми Гаусса для точкового заряду і сферичної поверхні нами доведена. Це доказ можна узагальнити і для будь-якої системи зарядів, і будь-якої замкнутої поверхні.
Теорема Остроградського - Гаусса дозволяє визначити напруженість електростатичного поля будь-якого просторово-розподіленого заряду. У загальному випадку для цього буде потрібно використання спеціальних математичних методів рішення. Однак для симетричних розподілів зарядів вдається визначити напруженість поля елементарними методами.
Як приклад визначимо напруженість поля нескінченної, рівномірно зарядженої площини. Площина характеризується поверхневою щільністю заряду s (заряд, що припадає на одиницю поверхні).
Схема застосування закону Гаусса для обчислення напруженості поля:
1. У випадку нескінченної площини неважко здогадатися, що вектор повинен бути перпендикулярним площині. Дійсно, на малюнку справа зображено сумарне поле двох точкових зарядів площині, розташованих симетрично відносно точки спостереження А. Як бачимо, вектор перпендикулярний площині. У випадку нескінченної площини для кожного точкового заряду знайдеться симетричний. Підсумовуючи поля точкових зарядів площині симетричними парами, в результаті отримаємо поле, перпендикулярне площині.
2. Вибираємо замкнуту поверхню S0 у вигляді прямого циліндра, перетинає нашу площину в напрямку нормалі. Така поверхня зручна для обчислення потоку, оскільки через бічну поверхню потік вектора напруженості дорівнює нулю і відмінний від нуля лише через два підстави площею S кожне. Обчислюємо (виходячи з визначення потоку):
3. Обчислюємо сумарний заряд åqi в обсязі, обмеженому поверхнею. На малюнку це заряд заштрихованої частини площини, площею S. тому:
4. Підставляємо потік і заряд в закон Остроградського-Гаусса:
5. З отриманого співвідношення знаходимо напруженість поля:
Бачимо, що поле не залежить від відстані до площини, тобто є однорідним.
Напруженість - векторна характеристика електричного поля. Потенції-ал - додаткова скалярная характеристика поля. Таку характеристику можна вводити тільки для потенційних полів, полів, у яких робота сил поля по переміщенню об'єкта по замкнутій траєкторії дорівнює нулю, а робота по переміщенню не залежить від форми шляху, по якому відбулося переміщення, а залежить тільки від координат початкової точки 1 і кінцевої точки 2.
Потенціалом називається скалярна характеристика поля, чисельно рівна роботі сил поля по переміщенню "пробного" (одиничного і позитивного) заряду з даної точки, що має радіус-вектор. в іншу, заздалегідь обрану точку, що має радіус-вектор. в якій потенціал приймається за нуль ().
Елементарна робота сил поля має вигляд (використовуємо відомості, отримані в механіці):
Сила в електричному полі. отже.
І для елементарного збільшення потенціалу отримаємо:
Підсумовуючи (інтегруючи), отримаємо значення потенціалу в точці з координатою. якщо за початок відліку прийняти потенціал точки:
Ми отримали рівняння зв'язку додаткової характеристики - потенціалу з основною характеристикою - напруженістю.
Завдання: отримати рівняння зворотного зв'язку, тобто Е через j. Використовуємо вираз для dj і отримаємо:
похідна за координатами (швидкість зміни в просторі). Але залишається питання про направлення поля в просторі.
Для більш точного запису зв'язку потенціалу і напруженості використовуємо векторний оператор. Оператор Гамільтона. що складається з трьох компонентів:
де; ; - приватні похідні по координатах (відрізняються від звичайних похідних тим, що вводяться для функції багатьох змінних і при обчисленні похідної по одній координаті інші координати треба вважати постійними);
j - скалярна функція трьох змінних j (x, y, z). Векторний оператор для потенціалу має вигляд:
Кожна компонента являє собою складові напруженості по трьох осях координат. У векторному вигляді це запишеться у вигляді:
Рівняння зв'язку та j (grad читається як «градієнт»).
За визначенням потенціал пов'язаний з роботою по переміщенню одиничного заряду, отже, помноживши потенціал на величину пробного заряду, ми отримаємо роботу по переміщенню цього заряду, тобто отримаємо потенційну енергію даного заряду в даній точці електричного поля:
де ЕПОТ. - потенційна енергія заряду.
Як використовувати потенціал при вирішенні завдань?
Зручніше використовувати не сам потенціал, а його приріст або зміна, а також «різниця потенціалів».
Використовуючи визначення приросту будь характеристики і позначення - приріст потенціалів, отримаємо: