Підставивши в (3.35) значення # 963; ср = (# 963; 1 + # 963; 2 + # 963; 3) / 3, отримаємо остаточний вираз для питомої потенційної енергії зміни обсягу
Питому потенційну енергію формозміни знайдемо простим відніманням:
Необхідно з (3.33) відняти (3.36):
Отже, питома потенційна енергія формозміни визначається за формулою
З (3.38) легко отримати вирази для uф при плоскому напруженому стані (# 963; 2 = 0)
і при лінійному напруженому стані (# 963; 2 = # 963; 3 = 0)
3.7.1. Завдання теорій міцності
Найважливішим завданням інженерного розрахунку є оцінка міцності деталі по відомому напруженого стану, тобто по відомим головним напруженням в точках тіла.
Матеріал деталі може перебувати в різних станах. При малих зовнішніх навантаженнях матеріал знаходиться в пружному стані. При збільшенні зовнішніх сил з певного моменту з'являються помітні залишкові деформації і, отже, матеріал переходить в пластичний стан. При подальшому збільшенні зовнішніх сил з'являються тріщини і настає стан руйнування. Механічне стан залежить в першу чергу від напруженого стану, а також від ряду інших факторів - температури, часу навантаження і інших другорядних факторів.
Граничним (небезпечним) вважається таке напружений стан, при якому відбувається якісна зміна властивостей матеріалу: перехід з пружного стану в пластичне або перехід з пружного в стан руйнування. Небезпечні напруги знаходяться експериментально - в процесі лабораторних випробувань матеріалу. Найбільш просто задача визначення небезпечних напруг вирішується при стандартних випробуваннях на розтягнення або стиснення: для пластичного матеріалу це межа плинності # 963; 0 = # 963; т. для крихкого - межа міцності # 963; 0 = # 963; пч. Зразки при цьому знаходяться в лінійному напруженому стані (див. П. 2.6.1 і 2.6.2). Не набагато складніше визначити небезпечні напруги в окремому випадку плоского напруженого стану - при чистому зсуві. Чистий зрушення - це таке напружений стан, при якому за деякими взаємно перпендикулярним майданчикам діють тільки дотичні напруження. При випробуванні на крутіння тонкостінної труби неважко встановити величини небезпечних напруг по характерних точках діаграми.
Якщо слідувати за вказаним шляхом, то для кожного напруженого стану, що визначається трьома величинами головних напружень, і для кожного матеріалу необхідно мати відповідні діаграми випробувань з числовими характеристиками граничних точок. Однак такий шлях є абсолютно неприйнятним в силу невичерпності типів напружених станів, а також у зв'язку з технічними труднощами постановки відповідних випробувань.
Тому необхідно створити таку методику розрахунку, яка дозволяла б оцінити ступінь небезпеки будь-якого складного напруженого стану, грунтуючись на результатах дослідів при простому розтягуванні або стисненні. Це завдання вирішується за допомогою так званих теорій міцності (точніше, теорій граничних напружених станів).
Для цього вводять гіпотезу про переважне вплив на міцність того чи іншого чинника - критерій міцності. Вважають, що наступ граничного стану при об'ємному напруженому стані відбудеться тоді, коли величина критерію міцності досягне граничного значення. Граничне ж значення цього критерію, "відповідального" за наступ небезпечного стану, знаходять на підставі простих стандартних дослідів на розтяг - стиск (кручення).
Таким чином, введення критерію міцності дозволяє зіставити даний складний напружений стан (плоске або об'ємне) з простим лінійним, і встановити при цьому таке розрахункове (еквівалентну) напругу, яка в обох випадках дає однаковий коефіцієнт запасу міцності.
3.7.2. Класичні теорії міцності
Перша (I) теорія міцності - теорія найбільших нормальних напружень. Найбільш проста теорія міцності, ведуча свій початок від Галілея. Критерієм міцності, "відповідальним" за наступ небезпечного стану є найбільше з трьох головних напружень.
Умова порушення міцності має вигляд
Якщо праву частину виразів (3.41) поділити на коефіцієнт запасу, отримаємо умову міцності:
Перша теорія міцності з трьох головних напружень враховує лише одно- найбільше, вважаючи, що два інших не впливають на міцність. Це явний недолік цієї теорії.
Дослідна перевірка показує, що I-я теорія міцності не відображає перехід матеріалу в пластичний стан і дає задовільні результати лише для досить крихких матеріалів.
Друга (II) теорія міцності - теорія найбільших лінійних деформацій. Ідею другий теорії міцності вперше висловив Маріотт: критерієм міцності, "відповідальним" за наступ небезпечного стану, є найбільша за абсолютною величиною відносна лінійна деформація.
Умова руйнування наступне:
а умова міцності
Використовуючи узагальнений закон Гука (3.25), висловимо умова міцності (3.44) в напружених. Нехай найбільше відносне подовження буде # 949; 1. тоді
При простому розтягуванні, прийнявши в якості допустимої напруги [# 963;], ми тим самим для найбільшого відносного подовження допускаємо величину
Підставивши (а) і (б) в умову міцності (3.44) і, скоротивши на E, отримаємо остаточний вираз для умови міцності по II - й теорії міцності
На відміну від I-й теорії міцності враховуються всі три головних напруги. Однак, досвідчена перевірка вказує на що погодяться лише для тендітних матеріалів.
Третя (III) теорія міцності - теорія найбільших дотичних напружень. У цій теорії, запропонованої Кулоном в 1773 році, в якості фактора, "відповідального" за наступ небезпечного стану, прийнято найбільше дотичне напруження.
Умови руйнування і міцності мають вигляд
Так як згідно (3.21)
то умови руйнування і міцності (3.46) і (3.47) можна виразити через головні напруження:
Третя теорія міцності добре підтверджується дослідами для матеріалів, що однаково працюють на розтягування і стиснення. Вона призначена для прогнозування граничного стану в формі течії, тобто для пластичних матеріалів. Недолік третьої теорії полягає в тому, що вона не враховує середнього по величині головного напруги # 963; 2. яке, як показують досліди, робить деякий вплив (хоча в багатьох випадках і незначне) на міцність матеріалу. Умова міцності в формі (3.49) знайшло широке застосування в інженерній практиці.
Четверта (IV) теорія міцності - енергетична. В основу цієї теорії, запропонованої Мізеса в 1913 році, покладено постулат про те, що причиною настання граничного стану в формі течії є питома потенційна енергія зміни форми, а не напруги або деформації. Отже, математичною моделлю енергетичної теорії Ці два
Підставляючи в (3.50) значення uф при об'ємному напруженому стані за формулою (3.38) і при лінійному напруженому стані за формулою (3.40), отримаємо умову настання граничного стану
де # 963; т - межа плинності.
Скорочуючи на множник з пружними постійними і записуючи в правій частині допустиме напруження [# 963;] = # 963; т / n, отримаємо умову міцності
Досліди добре підтверджують четверту теорію для пластичних матеріалів, що однаково працюють на розтягування і стиснення.
У третій і в четвертій теоріях міцності знайшов своє відображення експериментально встановлений факт неруйнування изотропного матеріалу в умовах гідростатичного стиснення.
Так само, як і третя теорія, четверта широко застосовується в інженерних розрахунках. Як правило, третя теорія дає дещо більший запас міцності, тобто # 963; III розр> # 963; IV розр.
3.7.3. Поняття про нові теорії міцності
Всі розглянуті вище, так звані "класичні" теорії міцності страждають одним істотним недоліком - можливість їх застосування обмежена вузькими рамками. Перша і друга теорії міцності відображають руйнування відривом і застосовні тільки для тендітних матеріалів. Третя і четверта теорії, добре відображають наступ плинності і руйнування шляхом зрізу, застосовні для пластичних матеріалів з однаковою міцністю на розтягування і стиснення.
Слід підкреслити, що стан матеріалу (крихке або пластичне) визначається не тільки його властивостями, а й видом напруженого стану, температурою і швидкістю навантаження. Пластичні матеріали при певних умовах навантаження і температурі поводяться як тендітні (при низькій температурі або при всебічному рівномірному розтягуванні). У той же час і крихкі матеріали можуть вести себе як пластичні. Багато матеріалів у звичайних умовах мають різну міцність на розтягування і стиснення. Всі перераховані вище обставини були стимулом для розробки нових, універсальних теорій міцності.
Теорія міцності Мора - це удосконалення третьої теорії міцності, що дозволяє поширити її на матеріали з різним опором руйнуванню при розтягуванні і стисненні.
Теорія міцності Г.С.Писаренка - А.А.Лебедева пропонує критерії міцності у вигляді інваріантних по відношенню до напруженого стану функцій дотичних напружень і нормального максимального напруження.
Теорія міцності Ю.І. Ягна пропонує якусь математичну модель настання граничного стану, яка вимагає проведення трьох незалежних випробувань матеріалу на міцність. Експериментальна перевірка показала, що теорія міцності Ягна є найбільш гнучкою і достовірної з усіх відомих теорій статичної міцності.
Необхідно проте зазначити, що нові теорії міцності не знайшли широкого застосування в розрахунковій практиці. Інженери задовольняються класичними теоріями міцності.
В останні роки надзвичайно швидкими темпами розвивається нова галузь науки про міцність - механіка руйнування. Її поява і розвиток викликано потребами техніки: починаючи з 40-х років минулого століття почастішали аварії, пов'язані з раптовим руйнуванням великих відповідальних споруд (судів, напірних трубопроводів, посудин тиску, газопроводів та ін.). Руйнувалися, причому крихким чином, конструкції з пластичної стали при напружених, значно менших межі текучості. Виявилося, що причиною руйнування є дефекти типу дрібних тріщин, які можуть бути присутніми на стадії виготовлення або з'являються і розвиваються в процесі експлуатації. Механіка руйнування вивчає процеси утворення і розвитку тріщин в основі, що деформується твердому тілі, визначає напружено-деформований стан тіл з тріщинами. Найголовніше - механіка руйнування розробляє критерії граничної рівноваги тіл з тріщинами і на цій основі створює методи оцінки довговічності елементів конструкцій.
Сучасні методи неруйнівного контролю дозволяють виявляти тріщини і інші дефекти в процесі експлуатації конструкції. Особливо часто вони виникають в зварних швах. Далі необхідно вирішувати найважливіше питання - що робити: зупиняти експлуатацію для негайного ремонту, продовжувати роботу якийсь обмежений термін або взагалі не звертати уваги на дефект, тому що він не представляє небезпеки. На всі ці питання дає відповідь механіка руйнування.
Глава 4.ГЕОМЕТРІЧЕСКІЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ПЕРЕРІЗ
Як уже зазначалося в розділі 1, основним об'єктом, що вивчається в опорі матеріалів, є стержень. Опір стрижня різних видів деформації залежить від матеріалу і розмірів - обриси і довжини осі, форми поперечних перерізів. При розтягуванні прямого бруса геометричній характеристикою поперечного перерізу була його площа (див. Розділ 2). У цій главі розглянемо основні геометричні характеристики поперечних перерізів стрижня, що визначають опір різним видам деформацій.