Точки екстремуму функції, необхідні і достатні умови екстремуму

Точка називається точкою локального максимуму функції, якщо існує така околиця цієї точки, що для всіх з цієї околиці виконується нерівність:.

Точка називається точкою локального мінімуму функції, якщо існує така околиця цієї точки, що для всіх з цієї околиці.

Значення функції в точці максимуму називається локальним максимумом. значення функції в точці мінімуму - локальним мінімумом даної функції. Локальні максимум і мінімум функції називаються локальними екстремумами.

Точка називається точкою строгого локального максимуму функції, якщо для всіх з околиці цієї точки буде справедливо суворе нерівність.

Точка називається точкою строгого локального мінімуму функції, якщо для всіх з околиці цієї точки буде справедливо суворе нерівність.

Найбільше або найменше значення функції на проміжку називається глобальним екстремумів.

Глобальний екстремум може досягатися або в точках локального екстремуму, або на кінцях відрізка.

Необхідна умова екстремуму

(Необхідна умова екстремуму)

Якщо функція має екстремум в точці, то її похідна або дорівнює нулю, або не існує.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю:, називаються стаціонарними точками функції.

Точки, в яких виконується необхідна умова екстремуму для безперервної функції, називаються критичними точками цієї функції. Тобто критичні точки - це або стаціонарні точки (рішення рівняння), або це точки, в яких похідна не існує.

Чи не в кожній своїй критичній точці функція обов'язково має максимум або мінімум.

Перше достатня умова екстремуму

(Перше достатня умова екстремуму)

Нехай для функції виконані наступні умови:

  1. функція неперервна в околиці точки;
  2. або не існує;
  3. похідна при переході через точку змінює свій знак.

Тоді в точці функція має екстремум, причому це мінімум, якщо при переході через точку похідна змінює свій знак з мінуса на плюс; максимум, якщо при переході через точку похідна змінює свій знак з плюса на мінус.

Якщо похідна при переході через точку не змінює знак, то екстремуму в точці немає.

Таким чином, для того щоб дослідити функцію на екстремум, необхідно:

  1. знайти похідну;
  2. знайти критичні точки, тобто такі значення, в яких або не існує;
  3. досліджувати знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки;
  4. знайти значення функції в екстремальних точках.

Завдання. Дослідити функцію на екстремум.

Рішення. Знаходимо похідну заданої функції:

Далі шукаємо критичні точки функції, для цього вирішуємо рівняння:

Перша похідна визначена в усіх точках. Таким чином, маємо одну критичну точку. Наносимо цю точку на координатну пряму і досліджуємо знак похідної ліворуч і праворуч від цієї точки (для цього з кожного проміжку беремо довільне значення і знаходимо значення похідної в обраній точці, визначаємо знак отриманої величини):

Так як при переході через точку похідна змінила свій знак з "-" на "+", то в цій точці функція досягає мінімуму (або мінімального значення), причому.

Зауваження. Також можна визначити інтервали монотонності функції. так як на інтервалі похідна, то на цьому інтервалі функція є спадною; на інтервалі похідна, значить задана функція зростає на ньому.

Друге достатня умова екстремуму

(Друге достатня умова екстремуму)

Нехай для функції виконані наступні умови:

  1. вона неперервна в околиці точки;
  2. перша похідна в точці;
  3. в точці.

Тоді в точці досягається екстремум, причому, якщо, то в точці функція має мінімум; якщо, то в точці функція досягає максимум.

Завдання. Дослідити функцію на екстремум за допомогою другої похідної.

Рішення. Знаходимо першу похідну заданої функції:

Знаходимо точки, в яких перша похідна дорівнює нулю:

Друга похідна заданої функції:

У стаціонарній точці друга похідна, а значить, в цій точці функція досягає мінімум, причому.

Схожі статті