У пряму сторону:
- Розглянемо відображення, тобто, зрушення на. Це відображення взаємно однозначно і безперервно (так як воно може бути визначено через безперервну за визначенням ТВП операцію складання,). Прообраз відкритого безлічі при безперервному відображенні відкритий, тобто, якщо (відкрито), то також відкрито. Отримали, що векторна топологія інваріантна щодо зрушень.
- Встановимо, що можна створити базу околиць нуля, складову з радіально-врівноважених множин. , Тобто, де - врівноважено і околиця 0. Для радіальності:. , Тобто поглинає.
- .
У зворотний бік, тобто якщо дотримуються ці три властивості, в цій топології лінійні операції безперервні:
- Допоміжний факт: якщо, то, тобто представимо як. Якщо. . , Де за властивостями межі, що і потрібно.
Безперервність множення: нехай, покажемо що. Нехай,. Тоді. Покажемо, що друга дужка прагне до нуля.
1) з радіальної околиці нуля, значить прагне до нуля.
2), за умовою теореми - врівноважене.
3) за умовою теореми. Раз - околиця 0 якщо.
Отримали, що дужка прагне до нуля, значить множення безперервно.
Будь-яке НП є окремим випадком ТВП. Зворотне в загальному випадку невірно, в зв'язку з чим виникає питання про те, в якому випадку ТВП можна нормувати. Відповідь на нього дає поняття функціоналу Маньківського.
Нехай - лінійний простір, - радіальне підмножина, тоді функціонал Маньківського визначається як.
Зауважимо, що якщо - радіальні і, то.
- - НП,, сдедовательно, норма - окремий випадок функціоналу Маньківського.