2.1 Властивості шахових фігур
Вирішуючи комбінаторні задачі, пов'язані з шаховими фігурами, я досліджував властивості шахових фігур.
Тура ходить по вертикалі і горизонталі. Отже, під ударом одночасно, не залежно на якому полі стоїть тура, знаходяться 14 полів.
Ферзь ходить по вертикалі, горизонталі та діагоналі. Кількість полів, які перебувають одночасно під боєм ферзя, залежить від місця його розташування на шахівниці. Якщо ферзь стоїть на кутовому полі або на крайніх полях, то під боєм знаходиться 21 поле, на другій лінії від краю - 23 поля, на третій лінії від краю - 25 полів, на четвертій лінії від краю - 27 полів.
Король ходить на будь сусіднє поле. Якщо король стоїть на кутовому полі, то під боєм одночасно знаходяться 3 поля, якщо на полях крайней лінії, то - 5 полів, на всіх інших - 8 полів.
Кінь ходить зигзагом, на одне плюс два поля або два плюс одне поле. Кількість полів, які перебувають одночасно під боєм коня, залежить від місця його розташування на шахівниці. Якщо кінь стоїть на кутовому полі, то під боєм знаходяться 2 поля. На крайніх друге полях - 3 поля, на інших крайніх полях і на кутових полях другої лінії від краю - 4 поля. На інших полях другої лінії від краю - 6 полів, на третій і четвертій лініях від краю - по 8 полів одночасно знаходяться під боєм.
Слон ходить по діагоналях. Кількість полів, які перебувають одночасно під боєм слона, залежить від місця його розташування на шахівниці. Якщо слон стоїть на кутовому полі або на крайніх полях, то під боєм знаходяться 7 полів, на другій лінії від краю - 9 полів, на третій лінії від краю - 11 полів, на четвертій лінії від краю - 13 полів.
Виходячи з отриманих даних, завдання можна розділити за кількістю фігур і по поставленому завданню. Також можна ще розглянути умова: одного кольору фігури або різного.
2.2 Правила суми і твори
Більшість комбінаторних задач вирішуються за допомогою двох основних правил: суми і твори.
Якщо деякий об'єкт А можна вибрати m способами, і якщо після кожного такого вибору об'єкт В можна вибрати n способами, то вибір пари (А, В) можна здійснити m • n способами. Це твердження - правило твори. [5 з 5]
Якщо деякий об'єкт А можна вибрати m способами, а інший об'єкт В можна вибрати n способами, то вибір «або А. або В »можна здійснити m + n способами. У цьому випадку загальна кількість комбінацій дорівнює сумі чисел комбінацій у всіх класах. Це твердження називають правилом суми. [5 з 6]
Приклад 1Сколькімі способами можна поставити на шахову дошку білого і чорного королів так, щоб вийшла за правилами гри комбінація?
Рішення: Знаючи правила гри в шахи, не складно розглянути всі розстановки. По-перше, розглядаються королі, а ми знаємо властивості цієї фігури. По-друге, фігури різного кольору (білий і чорний король). І, по-третє, фігури не б'ють один одного. З властивостей шахових фігур ми знаємо, скільки і на якому полі знаходиться під боєм полів. Якщо перший король стоїть на кутовому полі, то під боєм 3 поля, то на всіх інших полях другої король в «безпеки». І таких полів - 60. А кутових полів всього чотири (2 чорних і 2 білих), Якщо один король стоїть на будь-якому з крайніх полів, то під боєм у нього 5 полів, значить інший король на всіх інших 58 полях в «безпеки». А крайніх полів всього 24 (12 білих і 12 чорних). Ну а якщо один король стоїть на будь-якому іншому полі, то під боєм у нього 8 полів. І значить інший король на всіх інших 55 полях в «безпеки». Таких полів 36. Таким чином, отримуємо число розстановок: 4 (64 - 4) + 24 (64 - 6) + 36 (64 - 9) = 3612
Якщо змінити умова.
Приклад 2 Скількома способами можна поставити на шахову дошку білого і чорного королів так, щоб фігури били один одного?
Рішення: Тоді на кутових полях по три поля під боєм, на крайніх - по п'ять полів під боєм, на інших - по 8 полів під боєм. Вважаємо число таких розстановок 4 • 3 + 24 • 5 + 36 • 8 = 420 Відповідь: 420
Приклад 3 Скількома способами можна поставити на шахову дошку двох королів одного кольору так, щоб фігури не били один одного?
Рішення: Так як на шаховій дошці всього 64 поля. 32 з них білі і 32 чорні. Якщо перший король стоїть на кутовому полі, то під боєм 3 поля, то на всіх інших полях другої король в «безпеки». І таких полів - 60. А кутових полів одного кольору 2 (2 чорних або 2 білих), Якщо один король стоїть на будь-якому з крайніх полів, то під боєм у нього 5 полів, значить інший король на всіх інших 58 полях в «безпеки» . А крайніх полів одного кольору 12 (12 білих або 12 чорних). Ну а якщо один король стоїть на будь-якому іншому полі, то під боєм у нього 8 полів. І значить інший король на всіх інших 55 полях в «безпеки». Таких полів 18 (одного кольору). Вважаємо число таких розстановок
Виходить, що число способів розставити королів одного кольору, щоб вони не били один одного, в два рази менше, ніж число способів розставити королів різного кольору. Так як число розглянутих полів зменшилася вдвічі. Отримуємо 3612. 2 = 1806
Приклад 4 Скількома способами можна поставити на шахову дошку двох королів одного кольору так, щоб фігури били один одного?
Рішення: Число способів розстановки фігур також буде в два рази менше, ніж для королів різного кольору. 420. 2 = 210 Відповідь: 210
А якщо розглядати задачу, в якій ані слова про колір фігур, то при підрахунку числа способів необхідно розглянути обидва випадки, і коли фігури різного кольору, і коли фігури одного кольору.
Приклад 5 Скількома способами можна розставити двох королі, щоб вони не били один одного?
Рішення: Так як число розстановок двох королів різного кольору, які не б'ють один одного, так само 3612, я число розстановок двох королів одного кольору, які не б'ють один одного, так само 1806. Те загальне число розстановок 3612 + 1806 = 5418 Відповідь: 5418
Приклад 6 Скількома способами можна розставити двох королі, щоб вони били один одного?
Рішення: Считаем число таких розстановок 420 + 210 = 630 Відповідь: 630
Приклад 7Сколькімі способами можна розставити 12 білих і 12 чорних шашок на чорних полях шахівниці?
Рішення:•. де k = 12, n = 32, m = 20
Поряд з правилами суми і твори, для вирішення комбінаторних завдань на шахівниці застосовуються правила перестановки, поєднання, розміщення.
Приклад 8Сколькімі способами можна розставити білі фігури (короля, ферзя, дві тури, двох слонів і двох коней) на першій лінії шахівниці (не дотримуючись шахові правила)?
Рішення: =; де n = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8,
k1 = 1, k2 = 1, k3 = 2, k4 = 2, k5 = 2
= = = 5040 Відповідь: 5040
Приклад 9Сколькімі способами можна поставити на шахову дошку 8 тур?
Рішення: =; гдеn = 64, k = 8
= = = 4 426 165 368 Відповідь 4 426 165 368
Приклад 10Сколькімі способами можна розмістити вісім тур на шахівниці так, щоб вони не били один одного?
У мене вийшла така класифікація знайдених комбінаторних задач на шахову тему: завдання можна розділити за кількістю фігур і по поставленому завданню (б'ють один одного фігури чи ні). Так само можна ще розглянути умова: одного кольору фігури або різного. (Додаток 10)
З через великий обсяг цей матеріал розміщений на декількох сторінках:
1 2 3