Урок алгебри в 7-му класі для дистанційного навчання дітей з обмеженими можливостями - формули

Мета. навчитися застосовувати формули скороченого множення при вирішенні прикладів, повторити матеріал.

план:

Ключові слова.
Доведення формули суми кубів.
Приклади.
Повторення.
Приклади з поясненням
Домашнє завдання.

Ключові слова: квадрат суми, квадрат різниці, куб суми, куб різниці, різниця квадратів, сума кубів, різниця кубів.

Квадрат суми двох величин дорівнює квадрату першої плюс подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другого (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Квадрат різниці двох величин дорівнює квадрату першої мінус подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другого. (A-b) 2 = a 2 -2ab + b 2

Твір суми двох величин на їх різницю дорівнює різниці їх квадратів. (A + b) (a-b) = a 2 -b 2

Куб суми двох величин дорівнює кубу першої плюс утроенное твір квадрата першої на другу плюс утроенное твір першої на квадрат другий плюс куб другий. (A + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Куб різниці двох величин дорівнює кубу першої мінус утроенное твір квадрата першої на другу плюс утроенное твір першої на квадрат другий мінус куб другий. (A-b) 3 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Твір суми двох величин на неповний квадрат різниці дорівнює сумі їх кубів. (A + b) (a 2 -ab + b 2) = a 3 + b 3

Твір різниці двох величин на неповний квадрат суми дорівнює різниці їх кубів. (Ab) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3

Дуже часто приведення многочлена до стандартного вигляду можна здійснити шляхом застосування формул скороченого множення. Всі вони доводяться безпосереднім розкриттям дужок і приведенням подібних доданків. Формули скороченого множення потрібно знати напам'ять.

Приклад. Доведіть формулу a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2).

Рішення. Маємо (a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 - a 2 b + ab 2 + ba 2 - ab 2 - b 3. Наводячи подібні доданки, ми бачимо, що (a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3. що і доводить потрібну формулу.

Приклад. Спростіть вираз (2 x 3 - 5 z) (2 x 3 + 5 z).

Рішення. Скористаємося формулою різниці квадратів, отримаємо: (2 x 3 - 5 z) (2 x 3 + 5 z) = (2 x 3) 2 - (5 z) 2 = 4 x 6 - 25 z 2.

Відповідь. 4 x 6 - 25 z 2.

Розкласти многочлен на множники означає представити його у вигляді твору простіших многочленів.

Існує кілька способів розкладання:

Винесення спільного множника за дужки

Алгоритм відшукання загального множника декількох одночленним

Знайти найбільший спільний дільник коефіцієнтів всіх одночленним, що входять в многочлен, - він і буде загальним числовим множником (зрозуміло, це відноситься тільки до випадку цілочисельних коефіцієнтів).

Знайти змінні, які входять в кожен член многочлена, і вибрати для кожної з них найменший (з наявних) показник ступеня.

Твір коефіцієнта, знайденого на першому кроці, є загальним множником, який доцільно винести за дужки.

Алгоритм розкладання многочлена на множники способом групування

Згрупувати його члени так, щоб складові в кожній групі мали загальний множник.
Винести в кожній групі загальний множник у вигляді одночлена за дужки.
Винести в кожній новій групі загальний множник (у вигляді многочлена) за дужки

Розкладання многочлена на множники за допомогою комбінації різних прийомів

В математиці не так часто буває, щоб при вирішенні прикладу застосовувався тільки один прийом, частіше зустрічаються комбіновані приклади, де спочатку використовується один прийом, потім інший і т.д. Щоб успішно вирішувати такі приклади, мало знати самі прийоми, треба ще вміти виробити план їх послідовного застосування. Іншими словами, тут потрібні не тільки знання, а й досвід. Ось такі комбіновані приклади ми і розглянемо.

Розкласти на множники многочлен 36a6b3-96a4b4 + 64a2b5

Спочатку займемося винесенням загального множника за дужки. Розглянемо коефіцієнти 36, 96, 64. Всі вони діляться на 4.

НСД (36,96,64) = 4. У всі члени многочлена входить змінна a (відповідно a6, a4, a2), тому за дужки можна винести a2. У всі члени многочлена входить змінна b (відповідно b3, b4, b5) - за дужки можна винести b3.

Отже, за дужки винесемо 4a2b3.

2) Розглянемо тричлен в дужках: 9a4-24a2b + 16b2. З'ясуємо, чи не є він повним квадратом. маємо:

9a 4 - 24a2b + 16b 2 = (3a 2) 2 - 2 · 3a 2 · 4b + (4b) 2.

Всі умови повного квадрата дотримані, отже,

9a 4 - 24a 2 b + 16b 2 = (3a 2 -4b) 2.

3) Комбінуючи два прийоми (винесення спільного множника за дужки і використання формул скороченого множення), отримуємо остаточний результат:

36a 6 b 3 -96a 4 b 4 + 64a 2 b 5 = 4a 2 b 3 (3a 2 -4b) 2.

Розкласти на множники многочлен 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 + 64a 2 b 5

Рішення (короткий запис)

36a 6 b 3 -96a 4 b 4 + 64a 2 b 5 = 4a 2 b 3 (9a 4 -24a 2 b + 16b 2) = 4a 2 b 3 (3a 2 -4b) 2

Комбінуємо два прийоми:

винесення спільного множника за дужки;
використання формул скороченого множення.

Розкласти на множники многочлен a 2 - з 2 + b 2 + 2ab

Комбінуємо два прийоми:

угруповання;
використання формул скороченого множення

Розкласти на множники многочлен y 3 - 3y 2 + 6y - 8

Спробуйте його вирішити

Комбінуйте три прийоми:

угруповання;
формули скороченого множення;
винесення спільного множника за дужки.

Комбінування різних прийомів

Порядок застосування різних методів при розкладанні многочлена на множники

Спробувати розкласти многочлен на множники за формулами скороченого множення.

"Винести загальний множник за дужку (якщо він є).

Побачити "і спробувати виділити повний квадрат.

Спробувати застосувати спосіб угруповання (якщо попередні способи не привели до мети).

За сторінками підручника алгебри

Квадратне рівняння - це рівняння виду: ax 2 + bx + c = 0 (де a = 0)

Многочлен виду: ax 2 + bx + с - квадратний тричлен.

Коефіцієнти: a, b, с (де с - вільний член)

Завдання 1. Розкласти на множники x 2 + 5x-6, використовуючи метод попереднього перетворення.

Увага! Подільники вільного члена.

Розкласти на множники x 3 + 2x 2 -5x-6, використовуючи метод попереднього перетворення.

Увага! Подільники вільного члена.

Розкласти на множники n 3 + 3n 2 + 2n

Спочатку скористаємося тим, що n можна винести за дужки: n (n 2 + 3n + 2). Тепер до тричленної n 2 + 3n + 2 застосуємо спосіб угруповання, попередньо представивши 3n у вигляді 2n + n. отримаємо:

n 2 + 3n + 2 = n 2 + 2n + n + 2 = (n 2 + 2n) + (n + 2) = n (n + 2) + (n + 2) = (n + 2) (n + 1).

Завдання: самостійно спробуйте зробити коротку запис прикладу

Метод виділення повного квадрата

Приклад розкласти на множники квадратний тричлен х 2 -6x + 5

Використовуємо попереднє перетворення. звертаючи увагу на вільний член +5. Подільники 5: + 1, -1, + 5, -5.

Уявімо -6x = -x + (- 5x), а потім застосуємо спосіб угруповання:

x 2 -6x + 5 = x 2 -5x + 5 = (x 2 -x) + (- 5x + 5) = x (x-1) -5 (x-1) = (x-1) (x- 5).

Застосуємо метод виділення повного квадрата. для цього звернемо увагу на подвоєне твір 6х = 2 * х * 3.

Значить повний квадрат буде справедливий для двох виразів х і 3.

x 2 -6x + 5 = (x 2 -2 · x · 3 +32) -32 + 5 = (x 2 -6x + 9) -9 + 5 = (x 2 -6x + 9) -4 = (x -3) 2 -22 = (x-3-2) (x-3 + 2) = (x-5) (x-1)

Ми навчилися використовувати комбінацію різних прийомів при розкладання многочлена на множники. Спробували виробити план застосування на практиці.

При розкладанні многочлена на множники ми використовували такі способи:

винесення спільного множника за дужки;
угруповання, в тому числі з використанням попереднього перетворення;
використання формул скороченого множення;
виділення повного квадрата;
комбінування різних прийомів.

Домашнє завдання. № 645, 654, 648 (в, г).