Формулювання завдання: В обмінному пункті можна зробити одну з двох операцій: за K золотих монети отримати M срібних і одну мідну; за N срібних монет отримати P золотих і одну мідну. У Миколи були тільки срібні монети. Після декількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього стало менше, золотих не з'явилося, зате з'явилося R мідних. На скільки зменшилася кількість срібних монет у Миколи?
Завдання з монетами входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу під номером 20 (Завдання на кмітливість).
Розглянемо, як вирішуються подібні завдання на прикладі.
В обмінному пункті можна зробити одну з двох операцій: за 2 золотих монети отримати 3 срібних і одну мідну; за 5 срібних монет отримати 3 золотих і одну мідну. У Миколи були тільки срібні монети. Після декількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього стало менше, золотих не з'явилося, зате з'явилося 50 мідних. На скільки зменшилася кількість срібних монет у Миколи?
Для зручності побудуємо таблицю, в якій буде міститися поточна кількість золотих, срібних і мідних монет після кожного обміну.
Кількість золотих монет
На нульовому етапі у Миколи є кілька срібних монет (X), а золоті і мідні відсутні. Першою операцією може бути тільки обмін 5 срібних монет на 3 золотих і 1 мідну. Отримуємо, що золотих монет стало 3, срібних X-5 і мідних 1.
Далі можна спробувати позбутися від золотих монет, адже в результаті всіх обмінів золоті монети у Миколи повинні закінчитися. Обмінюємо 2 золотих монети на 3 срібних і одну мідну. Оскільки після другого кроку у нас залишилася лише 1 золота монета, в третій операції потрібно знову обмінювати срібні. А четвертої і п'ятої можна позбутися від золотих монет.
Проробивши п'ять кроків, можна зробити деякі висновки. По-перше, з кожним новим кроком у нас з'являється нова мідна монета. Оскільки в результаті мідних монет повинно стати 50, можна зробити висновок, що потрібно виконати рівно 50 кроків. По-друге, за 5 кроків ми отримали золоті монети і позбулися їх, що і потрібно в результаті. Якщо розділити загальне число кроків (50) на 5, то ми отримуємо, що ці кроки потрібно повторити 10 разів, і тоді золотих монет у нас не буде, мідних стане рівно 50, а кількість срібних монет зменшиться.
Залишилося лише підрахувати, на скільки зменшилася кількість срібних монет. За 5 кроків число срібних монет двічі зменшилася на 5 і тричі збільшилась на 3, в результаті чого їх стало на 1 менше. Якщо ми повторимо ці п'ять кроків рівно 10 разів, число срібних монет зменшиться на 10 штук. Це і є відповідь.