ÆВибірковими характеристиками називаються функції від спостережень, приблизно оцінюють відповідні числові характеристики випадкової величини.
Оцінки параметрів генеральної сукупності діляться на два класи: точкові та інтервальні.
Точечниеоценкі виражаються одним числом (точкою на числовій осі), знаходяться такі оцінки за даними вибірки та використовуються в подальшому замість оцінюваного параметра. Точкова оцінка, як функція від вибірки, є випадковою величиною і змінюється від вибірки до вибірки при повторному експерименті.
Інтервальні оцінки визначаються двома числами - кінцями інтервалу, який накриває оцінюваний параметр.
На відміну від точкових оцінок, які не дають уявлення про те, як далеко від них може перебувати оцінюваний параметр, інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.
Якщо обсяг вибірки. то при побудові довірчого інтервалу для математичного очікування можна користуватися нормальним законом розподілу. У разі невідомої дисперсії для визначення ширини інтервалу використовують несмещённую оцінку дисперсії і відповідне вибіркове середньоквадратичне відхилення [2].
До точкових оцінками висувають вимоги, яким вони повинні задовольняти, щоб хоч в якомусь сенсі бути «доброякісними». Це несмещённость, ефективність і спроможність [1].
Як точкових оцінок математичного очікування, дисперсії і середнього квадратичного відхилення використовують вибіркові характеристики відповідно вибіркове середнє, вибіркова дисперсія і вибіркове середнє квадратичне відхилення:
1) вибіркове середнє:;
2) вибіркова зміщена (неисправленная) дисперсія:
;
3) вибіркова несмещённая (виправлена) дисперсія:
4) зміщене вибіркове середньоквадратичне відхилення:
;
5) несмещённое вибіркове середньоквадратичне відхилення:
.
Þ Примітка. Вибіркове середнє є несмещённая, ефективна і заможна точкова оцінка математичного очікування, в той час як, вибіркова дисперсія є зміщеною точкової оцінкою дисперсії. У цьому випадку вводять виправлену (несмещённую) точкову оцінку дисперсії [3].
В якості інших використовуваних на практиці вибіркових характеристик можна назвати вибіркову моду івиборочную медіану [3].
Для спостережень випадкової величини:
- вибіркова мода дорівнює значенню варіанти з найбільшою частотою;
- вибіркова медіана дорівнює значенню варіанти, що стоїть в середині варіаційного ряду, якщо число спостережуваних варіант є непарне число;
- еслічісло спостережуваних варіант є парне число, тоді вибіркова медіана дорівнює напівсумі двох сусідніх значень варіант. що стоять в середині варіаційного ряду.
Медіана є серединний елемент.
У тому випадку, коли спостереження проводяться для неперервної випадкової величини, то мода і медіана визначаються за такими правилами.
Що стосується моди. то спочатку визначається модальний інтервал, т. е. інтервал з найбільшою частотою (або відносною частотою). Потім мода обчислюється за формулою
тут - початок модального інтервалу, що має максимальну частоту. - частота модального інтервалу, - довжина модального інтервалу, і - частоти інтервалів відповідно попереднього і наступного за модальним інтервалом.
Медианой називають таке число. коли 50% варіант вибірки менше або дорівнює цього значення, а 50% - більше або дорівнює його, т. е..
Медіану визначаємо за наступним алгоритмом:
1) знайдіть медіанний інтервал. Це такий інтервал, для якого накопичена частота. в цьому випадку медіана;
2) обчисліть медіану по одній з формул:
тут - початок медіанного інтервалу, - ширина медіанного інтервалу, - обсяг вибірки, - накопичена частота інтервалу, що передує медіанного інтервалу, - частота медіанного інтервалу, - накопичена відносна частота медіанного інтервалу, - накопичена відносна частота інтервалу, що передує медіанного інтервалу.
?Вправа 3. Знайдіть вибіркове середнє, зміщену і несмещённую вибіркові дисперсії, зміщене і несмещённое вибіркові середні квадратичні відхилення, моду і медіану за даним розподілом вибірки:
Þ Примітка. В даному прикладі максимальна частота. [12; 17) - модальний інтервал, моду обчислюємо за формулою (1):
Інтервал [7; 12) є медіанного інтервалом, оскільки накопичена відносна частота дорівнює 0.3, а це значення менше, ніж 0.5, т. Е. Медіану можна обчислити по одній з формул (2) або (3):
- вибіркову дисперсію (зміщену і несмещённую оцінки);
- вибіркове середнє квадратичне відхилення (зміщену і несмещённую оцінки), для чого виконаємо додаткові обчислення.