Вивчимо на цьому уроці, яка піраміда називається усіченою і як її отримати зі звичайної піраміди. Подивимося, з яких частин складається усічена піраміда, а так же дамо визначення правильної зрізаної піраміди.
Отже, в словосполученні усічена піраміда, саме слово усічена передбачає, що піраміду взяли і якимось чином усікли. Дійсно, щоб отримати усічену піраміду досить провести розтин піраміди паралельно площині підстави. Подивіться що вийде, якщо ми в піраміді PА1А2 ... Аn проведемо розтин паралельне площині підстави А1А2 ... Аn, що перетинає бічні ребра в точках В1, В2, ..., Bn. Бачимо на малюнку два опуклих багатогранника.
Один, з яких є пірамідою подібної до нашої початкової піраміді, а ось другий багатогранник як раз і буде називатися усіченої пірамідою. Розглянемо більш докладно, з яких частин складається дана фігура (рис. 3).
Цими складовими частинами будуть два n-кутника А1А2 ... Аn і В1В2 ... Вn, назвемо їх підставами усіченої піраміди і n чотирикутників їх ми назвемо бічними гранями. Ми готові дати визначення усіченої піраміди. Багатогранник, гранями якого є n-косинці А1А2 ... Аn і В1В2 ... Вn (нижню і верхню підстави), розташовані в паралельних площинах, і n чотирикутників А1А2В2В1, А2А3В3В2, ..., АnА1В1Вn (бічні грані), називається усіченою пірамідою.
Після того як ми дали поняття усіченої піраміди спробуємо знайти і в нашому житті щось схоже на усічену піраміду. Розглянемо лише деякі предмети, що мають форму усіченої піраміди. Прикладом усіченої піраміди може служити вуличний ліхтар або витяжка над варильною поверхнею кухонної плити, так само можна сказати, що кнопка клавіатури теж є усічену піраміду. І навіть смачний кекс до свята може мати форму усіченої піраміди.
Для вирішення завдань і доведення тверджень мало тих елементів усіченої піраміди, про які ми сказали раніше, тому поповнимо свою скарбничку знань і дамо ще кілька визначень стосуються усіченої піраміди. Відрізки А1В1, А2В2, ..., називаються бічними ребрами усіченої піраміди. Перпендикуляр, проведений з якої-небудь точки одного підстави до площини іншої основи, називається висотою усіченої піраміди. На малюнку СН є висотою усіченої піраміди А1А2 ... АnВ1В2 ... Вn.
Кожна з бічних граней усіченої піраміди буде трапецією і це можна довести. Розглянемо бічну грань А1А2В2В1. Сторони А1А2 і В1В2 паралельні, оскільки належать прямим, за якими площину РА1А2 перетинається з паралельними площинами α [альфа] і β [бета]. Дві інші сторони А1В1 і А2В2 цієї межі не паралельні - їх продовження перетинаються в точці Р.
Чотирикутник, у якій дві сторони паралельні, а дві інші ні, називається трапецією, з чого випливає, що бічні грані зрізаної піраміди є трапеціями.
Коли ми розглядали піраміду, то виділяли з безлічі пірамід правильну піраміду. Серед усічених пірамід теж можна виділити правильні усічені піраміди. Усічена піраміда називається правильною, якщо вона отримана перетином правильної піраміди площиною, паралельної підставі. Підстави правильної зрізаної піраміди - правильні багатокутники, а бічні грані - рівнобедрені трапеції. Висоти цих трапецій називаються апофемами. Площею бічної поверхні зрізаної піраміди називається сума площ її бічних граней. Ми знаємо, що в математиці, а тим більше в геометрії будь-яке твердження потребує доведення, якщо воно не є аксіомою. Саме доказом даних тверджень ми і займемося на наступному уроці.
Хочеться відзначити, що жодна геометрична фігура не вивчається заради самої фігури. Все в математиці вивчається для практичної необхідності. І було наведено чимало прикладів, де в житті можна зустріти усічену піраміду. До слова сказати, параметри вуличного ліхтаря необхідно знати, щоб правильно підібрати лампочку, яку будуть використовувати для освітлення. Коли випікають смачний кекс у великій або малій формі, потрібно знати, скільки приготувати продуктів для бісквіта. І взагалі, виходячи з розмірів кексу, чи вистачить його нашим гостям.
Усічена піраміда - це багатогранник. гранями якого є n-косинці А1А2 ... Аn і В1В2 ... Вn (нижню і верхню підстави), розташовані в паралельних площинах, і n чотирикутників А1А2В2В1, А2А3В3В2, ..., АnА1В1Вn (бічні грані).
Бічна грань усіченої піраміди є трапецією. тому чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші ні, називається трапецією.
Усічена піраміда називається правильною, якщо вона отримана перетином правильної піраміди площиною, паралельної підставі.
Підстави правильної зрізаної піраміди - правильні багатокутники, а бічні грані - рівнобедрені трапеції. Висоти цих трапецій називаються апофемами
2. Навчально - методичний посібник на допомогу шкільному вчителеві
Укладач Яровенко В.А. Поурочні розробки з геометрії до навчального комплекту Л. С. Атанасян і ін. (М. Просвещение) 10 клас