З таблиці видно, що Артем відвідує 3 гуртка, а Віктор лише один; найбільше з опитаних відвідують гурток малювання і ніхто з них не відвідує гурток випалювання ...
В даному прикладі розглядаються два безлічі: Х = - безліч імен і Y = - безліч назв гуртків.
За допомогою слів «відвідувати будь-якої гурток» між елементами цих множин встановлена деяка зв'язок, або, як кажуть в математиці, відповідність. У таблиці це відповідність виділено заштрихованими клітинами, а безліч всіх клітин таблиці є декартових твором множин Х і Y.
Відповідність між множинами Х і Y ми встановили, маючи 3 безлічі: безліч Х - безліч імен, безліч Y - безліч назв гуртків і підмножина декартова твори Х 'Y.
Визначення. Відповідністю між множинами Х і Y називається будь-яка підмножина R декартова твори множин Х і Y.
Безліч Х називають безліччю відправлення відповідності, безліч Y - безліччю прибуття відповідності.
Якщо пара (х; у) Î R. то кажуть, що елемент у відповідає елементу х; у є чином елемента х; х є прообразом елемента у.
Визначення. Безліч всіх перших компонент пар, що входять у відповідність, називається областю визначення відповідності.
Визначення. Безліч всіх друге компонент пар, що входять у відповідність, називається областю значень відповідності.
Оскільки відповідність - підмножина декартова твори, то способи завдання відповідностей такі ж, як і для декартова твори.
R - «х - дільник у» - відповідність задано зазначенням характеристичного властивості;
R = - відповідність задано перерахуванням. Також відповідність можна поставити таблицею:
У нашому прикладі елементу 3 відповідає три елементи множини Y - 6, 9 і 15. Безліч, що складається з чисел 6, 9 і 15, називають чином елемента 3.
У загальному випадку, образ елемента х з безлічі Х визначається як безліч всіх елементів у Î Y. відповідних елементу х.
Число 6 відповідає двом елементам безлічі Х - числам 2 і 3. Безліч, що складається з чисел 2 і 3, називають повним прообразом елемента 6 з безлічі Х.
У загальному вигляді: повний прообраз елемента у ÎY визначають як безліч елементів х ÎХ. таких що елементу х відповідає елемент у.
Визначення. Безліч всіх елементів з безлічі Х. мають непусті образи, називається областю (безліччю) визначення відповідності R.
Визначення. Безліч всіх елементів з безлічі Y. мають непорожній повний прообраз, називається безліччю значень відповідності R.
У нашому прикладі: - безліч визначення; - безліч значень.
Поняття відповідності між множинами відноситься до числа фундаментальних понять математики. Воно лежить в основі визначення таких найважливіших понять математики, як функція і відображення. Крім того, в будь-якій науці вивчаються не тільки самі об'єкти, але і зв'язки між ними.