У координатної формі записи зручно виконувати будь-які дії з векторами.
Щоб помножити вектор на число. потрібно все його координати помножити на це число:
Щоб знайти суму або різницю векторів, потрібно скласти або відняти відповідні координати.
Використовуючи властивості скалярного твори, а також той факт, що базисні вектора взаємно ортогональні, можна отримати формулу для обчислення скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами:
Скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат.
Формула для обчислення кута між векторами:
З огляду на властивості векторного добутку і взаємну перпендикулярність базисних векторів, можна отримати спосіб визначення координат векторного твори через координати входять до нього векторів і.
Формули для обчислення координат векторного твори легше запам'ятовуються, якщо уявити його у вигляді визначника, складеного з базисних векторів і координат векторів і. розкладеного за елементами першого рядка:
Змішане твір легко обчислюється, якщо вектора задані своїми координатами:
Змішане твір одно визначник, складеним з координат векторів, що входять в мішаний добуток.
Приклад рішення контрольної роботи №2
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Використовуючи властивості і визначення скалярного твори, знайдемо:
Використовуючи властивості векторного добутку векторів і визначення його модуля, знайдемо:
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.
1) Внутрішні кути в підставі можна знайти як кути між векторами, що виходять з відповідних вершин:
Як викладено в теоретичному матеріалі, координати вектора дорівнюють різниці координат кінця та початку вектора, його довжина дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат. тоді:
Підставами координати векторів і їх довжини в формули для знаходження косинусів кутів:
З урахуванням проведених заокруглень знаходження кутів можна визнати правильним.
2) Як показано в теоретичному матеріалі даного розділу, обсяг трикутної піраміди можна знайти як 1/6 модуля змішаного добутку векторів, на яких вона побудована:
Знайдемо мішаний добуток векторів, враховуючи координати вектора:
Площа трикутника, що є підставою. можна знайти як половину модуля векторного добутку векторів, які утворюють даний трикутник:
Знайдемо векторний добуток:
Тоді площа підстави.
Висоту піраміди з вершини знайдемо, використовуючи формулу:
В даному випадку і висота.
Завдання контрольної роботи №2
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.
Дано:. Для векторів і знайти скалярний добуток і модуль векторного добутку.
Дан тетраедр з вершинами в точках
Знайти: 1) внутрішні кути в підставі (з точністю до десятих часток градуса), зробити перевірку;
2) обсяг піраміди, площа підстави і довжину висоти, проведеної з вершини.