Нехай задано скалярний поле U = f (x, y, z). Градієнтом скалярного поля U = f (x, y, z) в точці M (x, y, z) називають вектор
Якщо функція U = f (x, y, z) має приватні похідні U'x. U'y. U'z в кожній точці деякої області, то скалярний поле породжує в цій області векторне поле. Перетворимо формулу для обчислення похідної за напрямком:
Кут між векторами і позначимо через φ. тоді скалярний добуток дорівнює але.
Значить: тобто похідна скаляр- ної функції U = f (x, y, z) в точці M в напрямку вектора дорівнює проекції на напрямок вектора
З формули (3.27) випливає, що, коли напрямок вектора збігається з напрямком вектора, похідна по напрямку має своє найбільше значення, т. Е. Вектор, обчислений в точці М. показує напрямок найбільшого зростання скалярного поля, і швидкість його зростання дорівнює
У напрямку, перпендикулярному напрямку, як це випливає з формули (3.27),, т. Е. В цьому напрямку з точки М поле не змінюється.
Згадаймо, що, якщо поверхня задана уравненіемF (x, y, z) = 0, нормаль до поверхні в точці M0 (x0, y0, z0) може бути задана рівнянням:
Тепер для скалярної функції U = f (x, y, z) побудуємо поверхні рівня f (x, y, z) = C. тоді рівняння нормалі до поверхні рівня в точці M0 (x0. y0. z0) запишеться:
тобто має направляючий вектор
Отже, вектор є вектор, перпендикулярний поверхні рівня функції U = f (x, y, z).