Виведемо функції попиту на товари X і Y. Для цього вирішуємо оптимізаційних задач:
p 1 x + p 2 y = M
Примітка: так як споживач віддає перевагу більшу кількість товару X меншому і більшу кількість товару Y меншому (тобто переваги монотонні, що видно з функції корисності), то раціональному споживачеві не вигідно залишати невитрачений дохід. Таким чином, раціональний споживач витратить всі наявні у нього гроші, тобто оптимальний набір буде задовольняти бюджетному
обмеження у вигляді рівності.
Висловимо y з бюджетного обмеження. отримаємо:
y = M p 1 x p 2 p 2
Підставами цей вислів в функцію корисності і вирішимо завдання необмеженої оптимізації по змінної x:
7). Якщо споживання кіно при цьому не змінюється,
то права частина умови оптимуму залишиться незмінною. В даному випадку студенту буде як і раніше вигідніше витратити 100 рублів на (тепер уже) восьмий сендвіч, ніж відкласти їх на сеанс в кіно. Коли ж восьмий сендвіч придбаний, ефективність вкладень в кіно і їжу зрівнюється, і при цьому бюджет студента повністю виснажується.
Іншими словами, з точки зору грошових витрат один похід в кіно еквівалентний двом сендвичам. При цьому з точки зору додаткової корисності один похід в кіно еквівалентний двом сендвичам тільки якщо сендвічів 8, а фільмів 2
(Тому що тільки в цьому випадку MU x = 1). Тобто тільки при такій кількості сендвічів
і фільмів їх відносна суб'єктивна цінність збігається з їх відносної ринкової цінністю. В інших випадках або одна, або інша цінність переважує, і стає вигідно збільшити або зменшити споживання одного з благ.
Повернемося до умови оптимуму і перепишемо його з урахуванням бюджетного обмеження:
В результаті отримаємо функцію попиту на благо Х:
Mp 2 x (p 1; p 2; M) = p 2 1 + p 1 p 2
З урахуванням бюджетного обмеження отримуємо, що попит на благо Y:
Mp 1 y (p 1; p 2; M) = p 2 2 + p 1 p 2
Зауважимо, що обидва ці вирази не можуть бути негативними. Це означає, що точка дотику бюджетного обмеження і кривої байдужості не може лежати в негативній області ні по X, ні по Y, тобто рішення завжди внутрішнє.
Нам необхідно побудувати криву "ціна товару X - споживання".
Для цього розглянемо ціну p 1 як параметр, а ціну p 2 і дохід M як константи. Це логічно, тому що щоб вивчити вплив на споживання лише ціни p 1. необхідно, щоб інші параметри не змінювалися. Наша крива складається з безлічі наборів, які стає оптимально споживати при зміні тільки ціни p 1. З функцій попиту на X і Y відразу видно, що при зниженні ціни p 1 споживання X зростає, і разом з тим споживання Y падає. Таким чином, крива "ціна товару X - споживання" убуває.
Висловимо ціну p 1 з функції попиту на X. Отримаємо:
Спробуємо висловити ціну p 1 з функції попиту на Y. Ми отримаємо квардартное рівняння щодо p 1 (згадуємо, що ми зафіксували значення M і p 2):
Це рівняння пов'язує значення x і y. відповідні різним значенням p 1.
Примітка: ті, хто не розуміє сенсу цієї операції, можуть виконати на-
дующее проста вправа. Припустимо, x описується функцією від некото-
якого параметра a виду x = 10 a, в той час як y описується функцією виду
y = 30 2 a. Підставляючи різні значення для a, полулчіте відповідні
точки (x; y) і покажіть їх на графіку. Далі висловіть параметр a з виразу
для x і підставте в вираз для y. Ви отримаєте функцію, що визначає всі
комбінації x і y, які можуть вийти при різних значеннях a. переконливо