малюнок 3.
Рівні безлічі представляють у вигляді одного кола (рис.4).
малюнок 4.
У математиці часто доводиться вирішувати завдання, які пов'язані з перебуванням спільних елементів двох або більше сукупностей або з об'єднанням декількох сукупностей в одну. Узагальненням таких ситуацій є операції перетину і об'єднання множин.
Перетином множин А і В називається множина, що складається з тих або тільки цих елементів, які належать як множині А, так і безлічі В.
Перетин будь-яких множин А і В завжди існує і він єдиний.
Якщо уявити множини А і В за допомогою кіл Ейлера, то перетин даних множин зобразиться зафарбованою областю (рис.5).
малюнок 5.
У тому випадку, коли безлічі А і В не мають спільних елементів, то кажуть, що їх перетин порожньо і пишуть: А Ç В = Æ.
Операція. за допомогою якої знаходять перетин множин, називається так само перетином.
Об'єднанням множин А і В називається множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній з множин Аі В.
Об'єднання будь-яких множин А і В завжди існує, і він єдиний.
Об'єднання множин А і В позначають: А È В.
Якщо уявити множини А і В за допомогою кіл Ейлера, то об'єднання даних множин зобразиться зафарбованою областю (рис.6).
рисунок 6.
26 Î D 8 Ï# 61472; D 15 Î# 61472; D
307Ï# 61472; D 940Ï# 61472; D 60 Î# 61472; D
№6, стор. 11. це завдання готує дітей до вивчення операції перетину множин.
На 6 - 7 уроках формуються уявлення про підмножині як частини множини. Вчаться встановлювати відношення включення множин і використовувати для цього знаки Ë і Ì.
На 8 уроці формується уявлення про розбиття множини на частини за властивостями (класифікації). Підготовка до вивчення перетинів множин.
В №1, стор. 22 учні ділять всі елементи множин А і В на 2 частини: їстівні і неїстівні предмети. З'ясовується, що кожен предмет або їстівний, або неїстівний, і, значить він потрапляє тільки в одну частину.
Даний матеріал закріплюється №2 - 4, стор. 22 - 23.
На 9 - 11 уроках діти знайомляться із записом операції перетину множин за допомогою знака ∩ і її основними властивостями (переместітельним, асоціативна), проте підготовча робота була проведена в №7, стр.11, №3, стор. 13.
В №2, стор. 25 розглядається конкретний приклад перетину множин К і Т;
7 ___ З m___C A___C Д ___ C
7___D m___D A___D Д ___ D
Нами були виділені критерії та рівні сформованості виконання завдань самостійної роботи:
Високий рівень виконання завдань характеризувався правильністю виконання завдання; усвідомленістю вибору правильного варіанту; обобщенностью знань, тобто був здатний перенести прийом виконання завдань на нові випадки; автоматизмом (учень виконував завдання швидко); міцністю (збереження навичок виконання завдань на тривалий час).
Для середнього рівня виконання завдань самостійної роботи характерно невелика кількість помилок; учень усвідомлює на основі яких знань зроблено завдання, однак не може самостійно пояснити, чому зробив саме так »а не інакше; учень може правильно виконати завдання тільки в стандартних умовах; учень не завжди виконує завдання швидко; навички правильного виконання завдань зберігаються на короткий термін.
Для низького рівня виконання завдань самостійної роботи властиво учень неправильно виконує те чи інше завдання, не усвідомлюючи правильність його виконання; повільне виконання завдань; відсутність сформованості навичок виконання завдань.
Результати виконання завдань представлені в таблиці №1.
Таблиця №1 - Рівень засвоєння знань по темі «Діаграма Венна. знаки Î і Ï»
Завдання см. Роботи
- Як знайти невідоме ділене?
4. Питання по темі «Безліч».
- Зірвані квіти поставили у вазу. Як можна назвати безліч квіток, поставлених у вазу? (Букет.)
- За нашою школою ростуть яблуні, вишні, сливи, груші. Як можна назвати безліч фруктових дерев, які ростуть за школою? (Сад.)
8. Підсумки уроку
- Що означає вираз «безліч задано»?
- Які способи завдання множин ви знаєте?
Домашнє завдання.
Вправа №11.
Вирази в сантиметрах і обчислювальні:
Зм 7 дм 6 см + 4м 3 дм 8 см
1м 6 дм 9 см + 47дм 2 см
9м 72 - 5ДМ 9 см
7м4см - 32 дм 6см
Повторити таблицю множення на 5,6, 7
Методичні рекомендації до уроку 2
Основною метою уроку 2 є формування здатності до завдання множин перерахуванням і загальним властивістю елементів, знайомство з позначенням множин.
Безліч вважається відомим (безліч задано), якщо відомі його елементи, т. Е. Про будь-якому об'єкті можна однозначно сказати, є він елементом даної множини чи ні.
Безліч можна задати або перерахуванням його елементів (наприклад, безліч учнів в класі задається їх списком), або вказавши властивість, яким володіють всі елементи даної множини, але не мають ніякі елементи, які не належать цій множині (наприклад, безліч букв російського алфавіту, безліч жителів Москви, безліч двозначних чисел і т.д.).
Для позначення множин зазвичай застосовують великі латинські літери. Якщо елемент х належить множині А, то пишуть: х Î А, в іншому випадку пишуть: х Î А.
Для запису множин часто застосовують також фігурні дужки, всередині яких полягають елементи множини. Наприклад, якщо безліч А складається з елементів a, d, с, то пишуть: А =.
Безлічі, що складаються з кінцевого числа елементів, називаються кінцевими, а решта безлічі - нескінченними. Учні працюють в основному з кінцевими множинами, але зустрічаються також і з деякими прикладами нескінченних множин: множиною натуральних чисел, безліччю точок прямої і т.д.
Матеріал на уроці розглядається в наступній послідовності. Спочатку в № 1 учні повторюють відомі їм властивості предметів: форма, колір, матеріал, з якого зроблені предмети, призначення предметів і т.д. Для цього вони шукають загальні властивості предметів, зображених на кожному малюнку:
а) Предмети мають форму прямокутного паралелепіпеда.
б) Предмети однакового кольору.
в) Предмети форми циліндра.
г) Скляні предмети.
д) Інструменти.
с) Одяг [21, 4].
Розглядаючи ці приклади, вчитель ставить питання:
- Назвіть інші предмети, що мають форму паралелепіпеда.
- Чи належить безлічі паралелепіпедів м'яч? Яку форму має м'яч? (Форму кулі.) І т.д.
В №2 розглядаються множини, задані загальним властивістю їх елементів (ягоди. Гриби і т.д.). В результаті виконання завдання вчитель звертає увагу дітей на те, що якщо відома загальна властивість елементів множини, то про будь-якому предметі можна впевнено сказати, належить він цій множині чи ні. Для цього досить визначити, чи володіє даний предмет вказаною властивістю [21, 4].
Однак буває так, що разом об'єднуються предмети, які не мають загального властивості (№ 3-4). Спільне в елементів таких множин тільки те, що вони зібрані разом. В такому випадку безліч можна задати, перерахувавши всі його елементи. Зазвичай елементи безлічі записуються в фігурних дужках [21, 5].
Таким чином, безліч можна задати двома способами: перерахуванням і загальним властивістю його елементів. Деякі безлічі, такі, як в № 3-4, можна задати тільки перерахуванням. Якщо число елементів множини велике, то його ставлять властивістю. А іноді безліч можна задати як одним, так і іншим способом. У завданнях №5 треба зіставити ці 2 способи завдання множин [21, 5].
урок 3
Тема уроку: Рівні безлічі. Порожня множина.
Мета уроку: формувати вміння визначати рівні безлічі, познайомити з поняттям порожньої множини і знаком його позначення.
Завдання уроку:
- доводити знання табличних випадків множення і ділення до автоматизму;
- повторити решеті завдань.
Хід уроку
1. Організаційний момент
А зараз перевір, дружок,
Ти готовий почати урок?
Всі ль на місці,
Всі ль в порядку;
Ручка, книжка і зошит?
Чи всі правильно сидять?
Кожен хоче отримувати
Тільки лише оцінку «п'ять».
Починаємо ми знову
Вирішувати, відгадувати, метикує.
- Яку тему вивчали на попередньому уроці?
- Коли ми говоримо, що безліч задано?
- Хто не зовсім чітко розуміє »про що зараз йде мова?
- У вас буде можливість на уроці розібратися з чим, що ви не зрозуміли на попередньому уроці. Для цього вам потрібно бути дуже уважним.
2. Актуалізація знань
- На с. 9, виконавши завдання № 12, ми зможемо повторити матеріал, з яким познайомилися на попередньому уроці.
З'єднайте точки в порядку рішення прикладів.
- Хто у вас вийшов? (Собачка.)
- Серед безлічі собак наженете елементи множини не по породам, а відповідно до їх призначення. (Гончі, сторожові, бійцівські, кімнатні і
т.д.)
- Перекресліть елементи безлічі кімнатних собак, (Спанієль, лабрадор, пудель, бульдог, шнауцер).
- Які способи завдання множин ви знаєте? (Перерахуванням, завданням загальних властивостей.)
- Безліч собак, елементи якого визначені відповідно до властивостей цих тварин, задано загальним властивістю елементів. А перерахування ми використовували, коли перерахували породи кімнатних собак.
- Безліч лягавих собак:
Висновок: під безліччю розуміють сукупність певних об'єктів, які називають елементами множини. Безліч можна задати, вказавши властивість, властиве всім елементам цієї множини.
- Перерахуйте елементи безлічі трикутників. (Прямокутні, гострокутні, тупоугольние трикутники.)
3. Знайомство з новим матеріалом
- А тепер перерахуйте елементи безлічі автомобілів. які стоять перед дошкою.
Діти здивовані, перед дошкою нічого не варто.
- Чому ви здивувалися? (Визнач безліч, елементи якого неможливо перерахувати через їх відсутність.)
- Безліч, що не містить елементів, називається порожнім, і його позначають символом # 61472;Æ.
- А яку цифру в математиці можна вважати родичкою даного символу. (Нуль.)
- Що ви можете сказати про ці дві множини?
- Який знак поставимо між цими множинами? (Знак рівності.)
- Зверніть увагу на дошку. Що ви бачите?
малюнок 4
- Що ви можете сказати про ці дві множини?
- Який знак поставимо між цими множинами? (Знак рівності).
- А що можете сказати про наступні два величезних кількостях? (Вони не однакові, у них є елементи, які не збігаються.)
малюнок 5
- Який знак в такому випадку поставимо? (Нерівності.)
- Що нове дізналися про множини? (Безліч можуть бути рівними, нерівними, порожніми.)
Робота за підручником.
Завдання № 1 - Порівняй елементи множин в першому і в другому рядах. Чи є в першому ряду елемент, якого немає в другому ряду? Чи є у другому ряду елемент, якого немає в першому ряду?
Завдання №2 - Порівняй безлічі в першому і в другому рядах. В якому ряду є зайвий елемент?
Завдання №3 - Чи вірно записано рівність? Чому? [21, 8]. Варіанти можуть відрізнятися, т. К. Можна переставляти місцями елементи, щоб скласти рівні безлічі, і ввести або прибрати будь-який елемент з; даного безлічі, щоб отримати нерівні безлічі.
№ 6, 7, 8 - виконується усно.
Завдання №6 - Склади все безлічі, рівні безлічі.
Завдання №7 - Скільки елементів містить: а) безліч днів тижня; б) безліч парт в першому ряду; в) безліч букв російського алфавіту; г) безліч хвостів у кішки Мурки?
Завдання №8 - Чи ростуть у вашому шкільному саду тропічні пальми? Яке безліч пальм в шкільному саду? [21, 8].
№ 9 - самостійна робота з перевіркою за еталоном.
Знайди правильне позначення порожньої множини, а решта закресли.
Звернути увагу: безліч не є порожнім, т. К. Містить один елемент - символ порожнього безлічі.
Физкультминутка
Повторення вивченого. усний рахунок
Завдання № 10:
У скільки разів 12 менше 96? (В 8раз.)
Суму чисел 35 і 60 зменшити в 19 разів. (5.)
Від суми чисел 48 і 36 відняти різницю чисел 100 і 76. (60.)
Частка від ділення 72 і 4 збільшити в 5 разів. (90.)
До твору 12 і 5 додати 28. (Вісімдесят вісім.)
Завдання №11- «Бліц-турнір» з самопроверкой за зразком.
а) Шапка варто А рублів, а пальто - в 9 разів дорожче. Скільки коштують пальто і шапка разом?
б) Маса кавуна В кг, а маса гарбуза - на 2 кг менше. Яка загальна маса кавуна і гарбуза?
в) У відро входить З води, а в каструлю - в7 разів менше
а) а + а • 9; б) b + (b-2);
в) с- з: 7; г) d-n • 8.
Індивідуальні завдання (біля дошки)
1. Вирази в зазначених одиницях виміру:
4 дм 5 см = ... см 450см = ... м ... дм
37дм = ... м ... дм 68см = ... дм ... см
800см = ... дм
2. Виріши рівняння:
420: х = 6 х • 40 = 160
6. Самостійна робота
1. Арифметичний диктант
- Знайти добуток чисел 9 і 7.
- Знайти різницю чисел 87 і 9.
- Знайти приватне чисел 81 і 9.
- Збільшити 72 на 8.
- Зменшити 63 в 7 разів.
- Збільшити 12 в 3 рази.
- Зменшити 56 на 8.
- На скільки 36 більше 6?
- У скільки разів 48 більше 8?
2. Вирішіть завдання.
Учні школи цікаво провели літо. З них 30 осіб їздили на Чорне море. в санаторій - в 4 рази більше, ніж на морі. У таборі відпочивало - в 2 рази менше, ніж в санаторії. А в турпохід сходило стільки учнів, скільки відпочивало в санаторії і таборі разом. Скільки учнів у школі?
3. а) Задайте загальною властивістю безліч С:
З =,
б) Запишіть безліч До чисел, кратних 3.
К =<>.
4. Вирішіть приклади.
70 • 5 = 63: 21 = 630: 7 =
90: 6 = 88: 4 = 560: 80 =
7. Підведення підсумків уроку
- Наведіть приклади елементів порожнього безлічі. (Коні, які пасуться на Місяці; яблука і груші, що ростуть на березі і т. П.)
Домашнє завдання
Завдання № 4. Нехай А =. Які з множин В = (2; 0; 1>, С =, D = рівні безлічі А, а які йому не рівні? Зроби записи і поясни їх.
Методичні рекомендації до уроку 3
Основною метою третього уроку є формування здатності до, засвоєнню рівності множин, знайомство з поняттям порожньої множини і його позначенням.
Поняття рівності множин нічим не відрізняється від поняття рівності «мішків», з яким учні зустрічалися в першому класі. Рівними називаються множини, що складаються з одних і тих же елементів. Очевидно, рівні безлічі можуть відрізнятися лише порядком їх елементів, наприклад:
Сенс цього поняття розкривається в № 1-7. Важливо, щоб, виконуючи їх, учні обгрунтовували свої твердження, а не просто називали відповідь. Наприклад, у вправі № З першу рівність вірно, так як обидва безлічі складаються з одних і тих же елементів, але записаних в різному порядку. Тому поряд з рівністю треба наголосити на слові «так» і закреслити «ні». Друге рівність невірно, оскільки в множині, записаному ліворуч, зайвий елемент «трикутник». Третє рівність вірно, так як чорний квадрат з першої множини помінявся на чорний коло, і, значить, безлічі не рівні [21, 8].
Вправа № 4. Діти роблять записи в зошиті і усно дають пояснення:
А = В Безліч А і В рівні, так як вони складаються з одних і тих же елементів: 0, 1 і 2.
А ≠ З Безліч А і С не рівні, так як в багатьох А є елемент 2, а в безлічі З його немає.
А ≠ D Безліч А і D не рівні, так як в багатьох А немає елемента 3, а в множині D він є [21, 8].
Вправа № 5. Кожна дитина записує в зошиті свій варіант. Можна проговорити з ними, що різних варіантів складання безлічі А може бути всього 6, а різних варіантів складання безлічі В - нескінченно багато [21, 8].
У вправі № 6 слід звернути увагу на упорядкований перебір варіантів:
На першому місці послідовно записуються спочатку а, потім б, потім в, і в кожному випадку два інших елемента переставляються [21, 8].
В № 7 ставиться питання про кількість елементів множини. З'ясовується, що є множини, що містять всього лише 1 елемент (безліч хвостів у Мурки, безліч носів у Петі) і навіть не містять жодного елементу (безліч коней, що пасуться на Місяці). В останньому випадку безліч називають порожнім і позначають символом: # 61472;Æ [21, 8].
У № 8-9 відпрацьовується поняття порожнього безлічі. Діти повинні звернути увагу на правильний нахил риси в його записи і на те, що це безліч записується без дужок (множина не є порожнім, воно містить 1 елемент) [21, 8].
Таким чином, правильне позначення порожньої множини в № 8 лише друге: # 61472;Æ. Удома можна запропонувати учням придумати приклади рівних і нерівних множин, приклад порожнього безлічі.