.
З виразу (1.1) випливає, що мінімальна відстань Хеммінга одно, де; ; .
Зауваження - Для знаходження мінімального відстані лінійного коду не обов'язково порівнювати всі можливі пари кодових слів. Якщо і належать лінійному коду, то - також є кодовим словом коду. Такий код є адитивною групою (визначена операція додавання) і, отже ,, де і, тобто справедлива теорема.
Теорема 1. Мінімальна відстань лінійного коду одно мінімальній вазі ненульових кодових слів.
Оскільки , То виникає питання про величину, такий, щоб код забезпечував контроль помилок, тобто виявлення та виправлення помилок.
2 Контроль помилок
Кодове слово можна представити у вигляді вектора з координатами в - вимірному векторному просторі. Наприклад, для вектор знаходиться в тривимірному евклідовому просторі, малюнок 1.2. Дозволеними для передачі обрані вектора і.
Малюнок дає наочну алгебраїчну інтерпретацію поняття "потужність коду":
а) кодові слова повного коду визначають - мірний простір, що складається з послідовностей (- тривимірний простір, що складається при з 8 послідовностей повного коду);
б) кодові слова надлишкового коду визначають підпростір (підмножина) - мірного простору, що складається з послідовностей.
Під впливом перешкод відбувається спотворення окремих розрядів слова. В результаті дозволені для передачі кодові вектори переходять в інші вектори (з іншими координатами) - заборонені. Факт переходу дозволеного слова в заборонений для передачі слово можна використовувати для контролю за помилками.
Можлива ситуація, коли дозволений вектор переходить в інший дозволений кодовий вектор:. У цьому випадку помилки не виявляються, і контроль стає неефективним.
З розглянутої моделі можна зробити наступний важливий висновок: для
того щоб передані вектори можна було б відрізняти один від одного при наявності перешкод, необхідно розташовувати ці вектори в - вимірному просторі