Існують різні побудови теорії дійсних чисел:
- аксіматіческое, за допомогою перетинів в безлічі раціональних чисел,
- на основі нескінченних десяткових дробів.
Розглянемо аксіоматичний метод побудови, де безліч дійсних чисел визначається в цілому як безліч елементів з деякими операціями і відносинами: властивості операцій і відносин задаються системою аксіом, розбитою на чотири групи. До першої групи входять аксіоми додавання, в другу - аксіоми множення, в третю - аксіоми порядку, в четверту - аксіома про верхній грані.
Визначення: Безліч елементів \ (x, y, z. \) Називається безліччю \ (
\) Дійсних (або речових) чисел. якщо для цих елементів встановлені наступні операції і відносини 1-4.
1. Операція складання: для будь-яких елементів \ (x, y \ in R \) зіставлений певний елемент \ (s \ in R, \) називаний їхньою сумою, який позначають через \ (x + y \), таким чином, що виконуються умови :
1.1. Для будь-яких \ (x, y \ in R \) здійснимо $$ x + y = y + x $$ - коммутативность операції додавання.
1.2. Для будь-яких \ (x, y, z \ in R \) $$ (x + y) + z = x + (y + z) $$ - асоціативність операції додавання.
Аксіома 1.2 дозволяє писати суму без дужок, вважаючи \ (x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z). \) Внаслідок аксіоми 1.1 байдужий також і порядок записи елементів.
1.3. Існує елемент \ (\ nu \ in R \) такий, що для будь-якого \ (x \ in R \) $$ x + \ nu = x. $$ Елемент \ (\ nu \) називається нульовим.
1.4. Для будь-якого елементу \ (x \ in R \) існує елемент \ (g \) такий, що $$ x + g = \ nu. $$ Елемент \ (g \) називається протилежним для \ (x \).
Елементи \ (x \) і \ (y \) в сумі \ (x + y \) називаються складовими.
2. Операція множення: для будь-яких елементів \ (x, y \ in R \) поставлений у відповідність елемент \ (p \ in R \), називаний їхньою твором і позначається через \ (x \ cdot y \) (або \ (xy \)), так що при цьому виконуються умови:
2.1. Для будь-яких \ (x, y \ in R \) $$ x y = y x $$ - коммутативность операції множення.
2.2. Для будь-яких \ (x, y, z \ in R \) $$ (x y) z = x (y z) $$ - асоціативність операції множення.
Аксіома 2.2 дозволяє вважати, що вираз \ (x y z \) має однозначний сенс.
2.3. Існує елемент \ (e \ in R \) такий, що для будь-якого \ (x \ in R \) $$ x \ cdot e = x. $$ Елемент \ (e \) називається одиничним.
2.4. Для будь-якого елементу \ (x \), крім \ (\ nu \), в \ (R \) існує елемент \ (r \ in R \) такий, що $$ xr = e. $$ Елемент \ (r \) називається зворотним елементу \ (x \).
2.5. Для будь-яких \ (x, y, z \ in R \) справедливо рівність $$ x (y + z) = x y + xz $$ (дистрибутивность операції множення щодо операції додавання).
Елементи \ (x \) і \ (y \) в творі \ (xy \) називаються множниками.
3. Ставлення порядку: для будь-яких елементів \ (x, y \ in R \) справедливі співвідношення: або \ (x \ leq y \) (\ (x \) менше або дорівнює \ (y \)), або \ (y \ leq x \), або і те й інше з наступними властивостями:
3.1. \ (X \ leq x \) для кожного \ (x \); з \ (
y \ leq x \) слід $$ x = y $$.
3.3. З \ (x \ leq y \) для будь-якого \ (z \ in R \) слід \ (x + z \ leq y + z \).
Ставлення \ (x \ leq y \) записується також у вигляді \ (y \ geq x \) (\ (y \) більше або дорівнює \ (x \)). Ставлення \ (x \ leq y \) при \ (x \ neq y \) записується у вигляді \ (
\) (\ (X \) менше \ (y \)) або \ (y> x \) (\ (y \) більше \ (x \)).
4. Верхня грань множини. Безліч \ (M \ subset R \) називається обмеженим зверху, якщо існує такий елемент \ (
\) Для кожного \ (x \ in M \); це співвідношення записується у вигляді \ (M \ leq \ eta \). Всякий елемент \ (\ eta \), що володіє по відношенню до безлічі зазначеним властивістю, називається верхньою межею безлічі \ (M \). Верхня межа \ (\ overline \) називається точною верхньою межею безлічі \ (M \), якщо будь-яка інша верхня межа \ (\ eta \) безлічі \ (M \) більше або дорівнює \ (\ overline \). Точна верхня грань безлічі \ (M \) позначається \ (
M \) (від латинського \ (supremum \) - вища).
4.1. Аксіома про верхній грані. Будь-яке обмежене зверху безліч \ (M \ subset R \) володіє точною верхньою межею.
РОЗДІЛИ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ