Центр тяжкості - точка, через яку проходить лінія дії рівнодіючої елементарних сил тяжкості. Він має властивість центру паралельних сил. Тому формули для визначення положення центра ваги різних тіл мають вигляд:
При вирішенні завдань на визначення положення центра ваги будь-якого однорідного тіла, складеного або з тонких стрижнів (ліній), або з пластинок (площ), або з обсягів, доцільно дотримуватися такого порядку:
1) виконати малюнок тіла, положення центра ваги якого потрібно визначити. Так як всі розміри тіла зазвичай відомі, при цьому слід дотримуватися масштаб;
2) розбити тіло на складові частини (відрізки ліній або площі, або обсяги), положення центрів тяжкості яких визначається виходячи з розмірів тіла;
3) визначити чи довжини, або площі, або обсяги складових частин;
4) вибрати розташування осей координат;
5) визначити координати центрів ваги складових частин;
6) знайдені значення довжин або площ, або обсягів окремих частин, а так само координат їх центрів тяжкості підставити відповідні формули і визначення координат центра ваги всього тіла;
7) за знайденими координатами вказати на малюнку положення центра ваги тіла.
Якщо тіло, центр ваги якого потрібно визначити, можна ототожнити з фігурою, складеної з ліній (наприклад, замкнутий або незамкнений контур, виготовлений з дроту), то вага Gi кожного відрізка li можна представити у вигляді добутку
де d - постійний для всієї фігури вага одиниці довжини матеріалу.
Після підстановки в формули замість Gi їх значень постійний множник d в кожному доданку чисельника і знаменника можна винести за дужки (за знак суми) і скоротити. Таким образо, формули для визначення координат центру ваги фігури, складеної з відрізків ліній, візьмуть вигляд:
Покажемо загальні прийоми, що дозволяють знаходити центри тяжкості більш складних фігур. Припустимо, що потрібно визначити центр ваги С площі S цієї однорідної фігури (рис. 4.1), яка може бути розбита на частини S1. S2 і S3, центри тяжкості яких С1, С2 і С3 відомі
Нехай хс і вус - координати центру ваги З площі S. Візьмемо осі координат Ох і Оу, тоді координати центрів ваги кожної зі складових частини Sv S2 і S3 площі 5 будуть відповідно х1 і. х2 і у2; х3 і у3. Знайдемо за формулами значення хс і вус координат центру ваги всієї фігури (таблиця 4.1):
Координати центра ваги фігур
Знайти положення центра ваги однорідної пластини, зображеної на малюнку 4.2, знаючи, що АС = 6 см, DE = 5 см, CD = KH = 1см, АВ = 5 см, НВ = 3 см.
За початок координат виберемо точку А. Вісь Ах направимо по прямій АВ. а вісь Ay - по прямій АС. Розіб'ємо цю фігуру на три частини з площами S1. S2. S3.
Обчислимо площу і координати центру ваги кожної фігури:
Підставами знайдені значення в формули для визначення координат центра ваги плоскої фігури:
Знайти координати центра ваги площі трапеції, зображеної на малюнку 4.3. Розміри вказані на кресленні.
Розбиваємо площа трапеції на три частини: S1 - площа трикутника ABE. S2 - площа прямокутника BCFE і S3 - площа трикутника CDF.
За початок координат виберемо точку А. Вісь Ах направимо по прямій АD. а вісь Ay - перпендикулярно їй.
Обчислимо площу і координати центру ваги кожної фігури:
Координати центра ваги всієї фігури:
Якщо в даному тілі є вирізані частини (отвори), то для їх визначення центру ваги такого тіла користуються таким же прийомом і тими ж формулами, як в попередніх прикладах, але тільки площі або обсяги відібраних частин потрібно вважати негативними. Цей випадок називається випадком негативних обсягів або площ.
Знайти координати цента тяжкості заштрихованої фігури, зображеної на малюнку 4.4. Розміри фігури: АВ = 45см; АС = 60см; ADE - півколо радіуса 20см.
Нехай S1 - площа всього трикутника АВС. S2 - площа кола. . За початок координат виберемо точку А. Вісь Ах направимо по прямій АС. а вісь Ay - по прямій АВ.
Обчислимо площу і координати центру ваги кожної фігури: