Сукупність відкритих множин з R називається базисом в якщо всяке відкрите безліч в R може бути представлено як сума деякого (кінцевого або нескінченного) числа множин, що належать цій сукупності.
Для перевірки того, чи є дана сукупність відкритих множин базисом чи ні, буває корисний наступний критерій.
Теорема 3. Для того щоб система відкритих множествпредставляла собою базис ВR, необхідно і достатньо, щоб для кожного відкритого множестваG і для кожної точки знайшлося б таке множествоіз цієї системи, що
Доведення. Якщо - базис, то всяке відкрите безліч G є сума деяких
отже, будь-яка точка х з G належить деякому міститься в G. Зворотно, якщо умова теореми виконано, то - базис. Дійсно, нехай G - довільна відкрите безліч. Для кожної точки знайдемо якийсь таке, що Сума цих за всіма дорівнює G.
За допомогою цього критерію легко встановити, що у всякому метричному простір сукупність всіх відкритих сфер утворює базис. Сукупність усіх сфер з раціональними радіусами також є базис. На прямій базисом є, наприклад, сукупність всіх раціональних інтервалів (т. Е. Інтервалів з раціональними кінцями).
R називається простором з рахунковим базисом, якщо в R можна знайти хоча б один базис, що складається з рахункового числа елементів.
Теорема 4. Для того чтобиR було простором з рахунковим базисом, необхідно і достатньо, щоб в ньому існувало лише рахункове [3] всюди щільне безліч.
Доведення. Необхідність. Нехай R має лічильний базис Виберемо в кожному з по довільній точці Отримане таким чином безліч буде всюди щільно в R. Дійсно, нехай х - довільна точка в R і - деяка її околиця. Згідно з теоремою 3, знайдеться така безліч що Так як містить принаймні одну з точок безлічі то будь-яка околиця довільної точки містить хоча б одну точку з а це і означає, що всюди щільно в R.
Достатність. Якщо - рахункове всюди щільне безліч в R, то сукупність сфер утворює в R рахунковий базис. Дійсно, безліч всіх цих сфер лічильно (як сума рахункового безлічі рахункових множин). Далі, нехай G - довільна відкрита множина і х - деяка точка в G. За визначенням відкритого безлічі знайдеться таке що сфера цілком міститься в G. Виберемо тепер точку з безлічі так що Тоді сфера містить точку х і міститься в а отже, і в G . в силу теореми 3 звідси випливає, що сфери утворюють базис в R.
В силу цієї теореми наведені вище (стор. 43) приклади сепарабельних просторів є в той же час прикладами просторів з рахунковим базисом.
Систему множин назвемо покриттям простору R, якщо Покриття, що складається з відкритих (замкнених) множин, будемо називати відкритим покриттям.
Теорема 5.ЕсліR - метричний простір з рахунковим базисом, то з будь-якого його відкритого покриття можна вибрати кінцеве або рахункове підпокриття.
Доведення. Нехай - деякий відкрите покриття R. Таким чином, кожна точка міститься в деякому
Нехай - рахунковий базис в R. Тоді в цьому базисі знайдеться такий елемент що Сукупність обраних таким чином множин кінцева або Рахункової та покриває всі R. Вибравши для кожного з одне з містять його множин ми і отримаємо кінцеве або рахункове підпокриття покриття
Вище вже було зазначено, що порожня множина і весь простір R одночасно і відкриті і замкнуті. Простір, в якому немає ніяких інших множин, одночасно відкритих і замкнутих, називається зв'язковим. Пряма лінія R 1 являє собою один з найпростіших прикладів зв'язкових метричних просторів. Якщо ж з R 1 видалити деякий кінцеве безліч точок (наприклад, одну точку), то простір, що залишився буде вже не зв'язковим. Найпростіший приклад не зв'язкового простору - дві точки, що знаходяться на відстані один від одного.