Визначення первісної та її властивості
Нехай функція задана на деякому інтервалі. Якщо знайдеться така функція. що при всіх має місце рівність
то функція називається первісною для функції.
Приклад 1.1 Розглянемо функцію на всій числовій осі - на інтервалі. Тоді функція - це первісна для на.
Для доказу знайдемо похідну від:
Оскільки рівність вірно при всіх. то - первісна для на.
Аналогічне визначення дамо і для випадку, коли функція задана не на одному інтервалі, а на об'єднанні кількох непересічних інтервалів:
Назвемо функцію первісною для. якщо при всіх виконано рівність.
Основні правила інтегрування.
1. Винесення функції з-під знака диференціала.
приклад:
2. Внесення функції під знак диференціала.
. де. тобто є первісною.
приклад:
[Знайдемо первісну функції]
підсумок:
Інтегрування шляхом підведення під знак диференціала
Необхідно мати на увазі найпростіші перетворення диференціала
Певний інтеграл називається невласних інтегралом. якщо виконується, принаймні, одна з таких умов:
- Межа a або b (або обидва межі) є нескінченними;
- Функція f (x) має одну або кілька точок розриву всередині інтервалу [a, b].
так, за визначенням,. Якщо ця межа існує і кінцевий, інтеграл називається збіжним; якщо межа не існує або нескінченний, інтеграл називається розбіжним.
Диференціальне рівняння - рівняння, що зв'язує значення похідної функції з самої функцією, значеннями незалежної змінної, числами (параметрами). Порядок входять в рівняння похідних може бути різний (формально він нічим не обмежений). Похідні, функції, незалежні змінні і параметри можуть входити в рівняння в різних комбінаціях або все, крім хоча б однієї похідної, відсутні зовсім. Диференціальне рівняння порядку вище першого можна перетворити в систему рівнянь першого порядку, в якій число рівнянь дорівнює порядку вихідного рівняння.
Рівнянням з розділеними змінними називається диференціальне рівняння виду
f (x) dx + g (y) dy = 0
з безперервними функціями f (х) і g (y).
де C - довільна постійна, визначає загальний інтеграл рівняння з розділеними змінними.
Початкова умова для рівняння f (x) dx + g (y) dy = 0 можна задавати у вигляді y (x 0) = y 0 або у вигляді x (y 0) = x 0.
Рівнянням із перемінними називається диференціальне рівняння виду
Функції f 1 (x), g 1 (y), f 2 (x), g 2 (y) неперервні в cвоіх областях визначення і g 1 (y) f 2 (x) ≠ 0.
Розділивши обидві частини рівняння на відмінне від нуля твір g 1 (y) f 2 (x), отримаємо рівняння з розділеними змінними
Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд
Рівняння Бернуллі є одним з найбільш відомих нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Воно записується у вигляді де a (x) і b (x) - безперервні функції. Якщо m = 0, то рівняння Бернуллі стає лінійним диференціальним рівнянням. У разі когдаm = 1, рівняння перетворюється в рівняння із перемінними. У загальному випадку, коли m ≠ 0, 1, рівняння Бернуллі зводиться до лінійного диференціального рівняння з допомогою підстановки Нове диференціальне рівняння для функції z (x) має вигляд і може бути вирішено способами, описаними на сторінці Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Знайти спільне рішення рівняння y '- y = y 2 e x. Рішення. Для заданого рівняння Бернуллі m = 2, тому зробимо підстановку Дифференцируя обидві частини рівняння (змінна y при цьому розглядається як складна функція x), можна записати: Розділимо обидві частини вихідного диференціального рівняння на y 2. Підставляючи z і z '. знаходимо: Ми отримали лінійне рівняння для функції z (x). Вирішимо його за допомогою інтегруючого множника: Загальне рішення лінійного рівняння виражається формулою Повертаючись до функції y (x), отримуємо відповідь в неявній формі: який можна записати також у вигляді: Зауважимо, що при розподілі рівняння на y 2 ми втратили рішення y = 0. в результаті, повну відповідь записується у вигляді:
Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Структура загального рішення Лінійне неоднорідне рівняння даного типу має вигляд: де p. q - постійні числа (які можуть бути як дійсними, так і комплексними). Для кожного такого рівняння можна записати відповідне однорідне рівняння. Теорема. Загальне рішення неоднорідного рівняння є сумою загального рішення y0 (x) соответствуюших однорідного рівняння і приватного рішення y1 (x) неоднорідного рівняння: Нижче ми розглянемо два способи вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь. Метод варіації постійних Якщо спільне рішення y0 асоційованого однорідного рівняння відомо, то загальне рішення неоднорідного рівняння можна знайти, використовуючи метод варіації постійних. Нехай спільне рішення однорідного диференціального рівняння другого порядку має вигляд: Замість постійних C1 і C2 будемо розглядати допоміжні функції C1 (x) і C2 (x). Будемо шукати ці функції такими, щоб рішення задовольняло неоднорідного рівняння з правою частиною f (x). Невідомі функції C1 (x) і C2 (x) визначаються з системи двох рівнянь: Метод невизначених коефіцієнтів Права частина f (x) неоднорідного диференціального рівняння часто є многочлен, експонентну або тригонометричну функцію, або деяку комбінацію зазначених функцій. У цьому випадку рішення зручніше шукати за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Підкреслимо, що даний метод працює лише для обмеженого класу функцій в правій частині, таких як- де Pn (x) і Qm (x) - многочлени ступені n і m. відповідно.
Визначення первісної та її властивості
Нехай функція задана на деякому інтервалі. Якщо знайдеться така функція. що при всіх має місце рівність
то функція називається первісною для функції.
Приклад 1.1 Розглянемо функцію на всій числовій осі - на інтервалі. Тоді функція - це первісна для на.
Для доказу знайдемо похідну від:
Оскільки рівність вірно при всіх. то - первісна для на.
Аналогічне визначення дамо і для випадку, коли функція задана не на одному інтервалі, а на об'єднанні кількох непересічних інтервалів:
Назвемо функцію первісною для. якщо при всіх виконано рівність.
Основні правила інтегрування.
1. Винесення функції з-під знака диференціала.
приклад:
2. Внесення функції під знак диференціала.
. де. тобто є первісною.
приклад:
[Знайдемо первісну функції]
підсумок: