Визначення матриці. Поняття подматріци. Операції над матрицями та їх властивості.
Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків і деяку кількість n стовпців. Числа складові матрицю називаються елементами матриці. Подматріцей матриці А є матриця, яка складається з невикреслених елементів первісної матриці.
Операції над матрицями:
· Транспонування - перехід від матриці А до матриці А Т. в якій рядки і стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку.
· Складання матриць. Вони повинні бути однакової розмірності і однойменні елементи складаються.
· Множення матриць на число.
· Віднімання матриць. А-В = А = (- 1) В
· Множення матриць. Правило множення: Твором матриць АВ називається така матриця С кожен елемент якої дорівнює сумі добутків елементів ітой рядки матриці А на елементи жітого стовпця матриці В.
Поділу в матрицях немає!
· А Т * (В + С) = А Т * В + А Т * С
· А * Е (одинична матриця) = А чи Е * А = А
· А * (В * С) = (А * В) * З головне порядок
Поняття визначника квадратної матриці порядку n. Властивості визначників. Методи обчислення визначників. Приклади.
Визначник - число, що характеризує квадратну матрицю.
Вироджена матриця - визначник = 0
Невироджених матриця - визначник ≠ 0
Визначник матриці першого порядку = елементу цієї матриці.
Визначник матриці другого порядку, називається число яке обчислюється за формулою:
Визначник матриці третього порядку, називається число яке обчислюється за формулою (правило трикутника або правило Саррюс):
Визначники n-го порядку
Теорема: Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчне доповнення.
Це метод обчислення визначників, і його називають метод розкладання за елементами будь-якої рядки або будь-якого стовпчика.
Визначник діагональної матриці = твору елементів головної діагоналі.
· Якщо яка-небудь рядок (стовпець) складається тільки з нулів, то її визначник дорівнює нулю.
· Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) помножити на число, то і весь визначник множиться на число.
· При транспонировании матриці її визначник не зміниться.
· При перестановці двох рядків або стовпців матриці, її визначник змінює знак на протилежний.
· Якщо квадратна матриця містить дві однакові рядки або стовпці, то її визначник дорівнюватиме нулю.
· Якщо елементи двох рядків (стовпців) матриці пропорційні, то її визначник дорівнюватиме нулю.
· Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на алгебраїчне доповнення елементів іншого рядка або стовпчика цієї матриці дорівнює нулю.
· Визначник матриці не зміниться якщо до елементів будь-якого рядка або стовпця матриці додати елементи іншого рядка (стовпця) попередньо помножене на одне і теж число. Отримуємо нулі.
· Визначник добутку двох матриць дорівнює добутку двох визначників.
Визначення оберненої матриці. Теорема про необхідний і достатній умови існування оберненої матриці. Обчислення оберненої матриці (на прикладі).
Зворотній матриця - така матриця A -1. при множенні на яку вихідна матриця A дає в результаті одиничну матрицю E:
Квадратна матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли вона невироджена, тобто її визначник не дорівнює нулю. Для неквадратних матриць і вироджених матриць зворотних матриць не існує.
Для того щоб матриця мала зворотний матрицю необхідно і достатньо, щоб вона була невироджених.
Алгоритм обчислення зворотної матриці:
Визначення рангу матриці. Вироджені і невироджені матриці. Матрична запис системи лінійних рівнянь.
Рангматріци - найвищий з порядків мінорів цієї матриці, відмінних від нуля.
Вироджена матриця - визначник = 0
Невироджених матриця - визначник ≠ 0
Матрична запис системи лінійних рівнянь: