У шуму немає інших потужностей крім середньої. Нехай так. Спектральна щільність потужності стаціонарного шуму - це статистично середня і усереднена за нескінченно великий інтервал спостереження енергія реалізацій процесу. Вона пов'язана з кореляційної функцією шуму перетворенням Фур'є (по Вінеру-Хинчин): А дисперсія шуму - це кореляційна функція в нулі, ось і отримуємо, що Звідси під середньою потужністю шуму і розуміють його дисперсію. (Ну якщо полотно потужності, то інтеграл від неї має сенс потужності. Зрозуміло середньої і за часом і статистично.)
А ось потужність сигналу в опеределения мається на увазі пікова - це максимальне значення миттєвої потужності сигналу на інтервалі. Миттєва потужність, відповідно пікова. А максимальне значення сигналу на виході узгодженого фільтра чисельно дорівнює енергії сигналу, тобто.
Вираз для відносини сигнал шум тоді за визначенням має вигляд: І ніяких не потрібно, коли задана дисперсія шуму.
А як же бути з формулою, яку Ви хотіли скористатися? Дуже просто. Спектральна щільність потужності шуму на виході узгодженого фільтра дорівнює, дисперсія шуму Так як АЧХ узгодженого фільтра повторює амплітудний спектр сигналу, то інтеграл в останньому виразі определеяется енергію сигналу, тому Звідси можете знайти, а ваша формула вийде після підстановки дисперсії в вираз (*) для відносини сигнал / шум і енергії сигналу.
Але мені дуже не подобається один момент. Дисперсія шуму, яка задана, - вона на виході оптимального приймача або на виході розраховується. Якщо на виході розраховується, то треба по-іншому. Цей момент обов'язково уточніть. Якщо на виході розраховується, то все що я написав застосовувати не можна. Тоді можна знайти як, а - енергія імпульсної характеристики розраховується прімёмніка.