1) Сума, різниця, добуток і частку періодичних функцій періоду є періодична функція періоду.
2) Якщо функція період. то функція має період.
3) Якщо - періодична функція періоду. то рівні будь-які два інтеграла від цієї функції, взяті по проміжкам довжини (при цьому інтеграл існує), т. е. при будь-яких і справедливо рівність.
Ряди Фур'є (Фур'є - французький математик і фізик 1768-1830) використовуються для опису періодичних процесів, рішення диференціальних рівнянь, наближення періодичних і неперіодичних функцій. У цих випадках функцію, яка описує періодичний процес, представляють як суму простих періодичних функцій, -амплітуда, фаза коливань, початкова фаза.
Вважаючи,. можна записати
Складні процеси описуються функціями виду
Вираз виду. де - основна тригонометрическая система функцій, називається тригонометричним рядом Фур'є.
Основна тригонометрическая система функцій:
. визначена на відрізку. де - період функції. Числа називаються коефіцієнтами Фур'є функції.
10.Достаточние ознаки разложимости функції в ряд Фур'є
Визначення. Точка розриву функції називають точкою розриву першого роду, якщо існує кінцеві межі праворуч і ліворуч цієї функції в даній точці.
Теорема Діріхле. Якщо на відрізку функція має кінцеве число точок розриву першого роду (або неперервна) і кінцеве число точок екстремуму (або не має їх зовсім), то її ряд Фур'є сходиться, т. Е. Має суму. у всіх точках цього відрізка. При цьому:
1) в точках безперервності функції він сходиться до самої функції;
2) в кожній точці розриву функції сходиться до напівсуми односторонніх меж функції праворуч і ліворуч;
3) в обох граничних точках відрізка сходиться при прагненні величини до цих крапок зсередини відрізка до напівсуми односторонніх меж функції.
11. Ряд Фур'є для періодичної функції з періодом
називається тригонометричним рядом Фур'є для періодичної функції. якщо коефіцієнти його визначаються за формулами:
Приклад. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію f (x) з періодом Т = 2l. яка на відрізку задана рівністю.
Рішення. Знайдемо коефіцієнти ряду Фур'є:
. т. к.. то розкладання набуде вигляду. отже, шукане розкладання має вигляд:
12. Ряд Фур'є для періодичної функції з періодом
Ряд Фур'є для такої функції виходить з ряду 1 при значенні.
Приклад. Розкласти в ряд Фур'є функцію, задану в проміжку рівнянням.
Рішення. Графіком цієї функції є відрізок, що з'єднує точки і. На малюнку показаний графік функції.
Ця функція є періодичною з періодом.
Визначаємо коефіцієнти ряду Фур'є. спочатку знаходимо
Другий інтеграл дорівнює нулю як інтеграл від непарної функції, взятий по інтервалу, симетричного відносно початку координат.
Далі знаходимо коефіцієнти:
Обидва інтеграла дорівнюють нулю, т. К. Подинтегральная функція другого інтеграла є непарною як твір парній і непарній функцій. Отже,. т. е..
Визначаємо тепер коефіцієнти:
Перший інтеграл дорівнює нулю. Підінтегральна функція другого інтеграла - парна як твір двох непарних функцій. Таким чином, .
Вирішимо даний інтеграл, інтеграцією по частинах:
Отже, розкладання функції в ряд Фур'є має вигляд: