1. Абсолютна величина вибіркового коефіцієнта кореляції не перевищує 1 ().
2. Якщо вибірковий коефіцієнт кореляції дорівнює 0 і вибіркові лінії регресії - прямі лінії, то і не зв'язані лінійною кореляційною залежністю і. .
В цьому випадку прямі лінії регресії паралельні відповідно координатним осях.
Зауваження. Якщо вибірковий коефіцієнт кореляції. то ознаки і можуть бути пов'язані нелінійної кореляційної або навіть функціональною залежністю.
3. Якщо абсолютна величина. то спостережувані значення ознак пов'язані лінійною функціональною залежністю.
4. З зростанням абсолютної величини вибіркового коефіцієнта кореляції лінійна кореляційна залежність стає більш тісної і при переходить в функціональну.
Величина коефіцієнта кореляції характеризує силу лінійного зв'язку між ознаками ():
якщо - зв'язок слабка;
якщо - зв'язок помірна;
якщо - зв'язок помітна;
якщо - зв'язок висока;
якщо - зв'язок вельми висока;
якщо - зв'язок функціональна.
5. Знак вибіркового коефіцієнта кореляції збігається зі знаком вибіркового коефіцієнта регресії:. і визначає напрямок зв'язку. Якщо - зв'язок пряма, - зв'язок зворотна.
Перемножимо перше і друге рівності; .
Знак при радикала повинен збігатися зі знаком коефіцієнта регресії, тобто . якщо; . якщо.
Вибірковий коефіцієнт кореляції дорівнює середньому геометричному вибіркових коефіцієнтів регресій.
Точкова і інтервальна оцінки коефіцієнтів кореляції нормально розподіленої генеральної сукупності
Якщо вибірка має досить великий обсяг і добре уявляє генеральну сукупність, то висновок про тісноту лінійної залежності між ознаками, отримане за даними вибірки, до певної міри може бути поширене на генеральну сукупність. Як точкової оцінки коефіцієнта кореляції генеральної сукупності беруть.
Для інтервального оцінки коефіцієнта кореляції нормально розподіленої генеральної сукупності () маємо:
Перевірка гіпотези про значущість вибіркового коефіцієнта кореляції
Нехай двовимірна генеральна сукупність. розподілена нормально. З цієї сукупності витягнута вибірка обсягу і по ній знайдений вибірковий коефіцієнт кореляції. який виявився відмінним від 0.
Так як вибірка відібрана випадково, то ще можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції генеральної сукупності також різниться від 0.
Нас цікавить саме цей коефіцієнт. Тому виникає необхідність при заданому рівні значущості a перевірити нульову гіпотезу про рівність нулю генерального коефіцієнта кореляції при конкуруючої гіпотезі.
Якщо гіпотеза буде спростована, то це означає, що вибірковий коефіцієнт кореляції значно відрізняється від 0, а й пов'язані лінійною залежністю.
Якщо нульова гіпотеза буде прийнята, то вибірковий коефіцієнт кореляції значущий, а й не зв'язані лінійною залежністю.
В якості критерію перевірки нульової гіпотези приймемо випадкову величину. де - обсяг вибірки.
Величина при справедливості нульової гіпотези має розподіл Стьюдента з ступенями свободи. Позначимо значення критерію, обчислене за даними спостережень через та сформулюємо правило перевірки нульової гіпотези.
Для того щоб при заданому рівні значущості перевірити нульову гіпотезу про рівність нулю генерального коефіцієнта кореляції нормальної двовимірної випадкової величини, при конкуруючої гіпотезі треба обчислити спостережуване значення критерію і по таблиці критичних точок розподілу Стьюдента за заданим рівнем значущості і числа ступенів свободи знайти критичну точку для двосторонньої критичної області.
Якщо - ні підстави відкинути нульову гіпотезу. Якщо - нульову гіпотезу відкидають і, отже, вибірковий коефіцієнт кореляції значимо відрізняється від 0. тобто і лінійної кореляційної.
Раніше розглядалася тіснота лінійної кореляційної зв'язку. Питання: як оцінити тісноту будь кореляційної зв'язку?
Так як всі значення ознаки розбиті на групи, можна уявити загальну дисперсію ознаки у вигляді суми внутрішньогрупової і міжгрупової дисперсії.
Определеніе.Групповой дисперсією називають дисперсію значень ознаки, що належать групі, щодо групової середньої.
де - частота значень при. - номер групи,. - групова середня групи. - обсяг групи.
Определеніе.Внутрігрупповой дисперсією називають середню арифметичну групових дисперсій, зважену за обсягами груп.
- обсяг всієї сукупності.
Определеніе.Межгрупповой дисперсією називають дисперсію групових середніх щодо общeй середньої.
де - загальна середня.
Определеніе.Общей дисперсією називають дисперсію значень ознаки всієї сукупності щодо загальної ознаки.
Для оцінки тісноти нелінійної кореляційної зв'язку вводять кореляційні характеристики:
1) - вибіркове кореляційне відношення к.
2) - вибіркове кореляційне відношення к.