Властивість 1. Вибіркове середнє є спроможною оцінкою гені-рального математичного очікування m = МX. що випливає з граничною тео-реми Чебишева:
Властивість 2. є несмещенной оцінкою m:
Властивість 3. не є робастной оцінкою т, так як в своєму складі має крайні елементи варіаційного ряду.
Цей результат означає, що з ростом n розсіювання зменшується обернено пропорційно n.
Аналогічно доводиться, що вибірковий початковий момент порядку l також є спроможною і несмещенной оцінкою генерального на-чільного моменту порядку l:
Властивості оцінок для m і в разі нормального розподілу
Властивості оцінок математичного очікування т.
Розглядаємо 4 вибіркових характеристики. med. tq. tR. Так як нор-мального розподіл - симетричне, то ці вибіркові характе-ристики є оцінками m. Дійсно, вибіркова ме-діана med є оцінкою генеральної медіани Ме, полусумма вибороч-них квартилей є оцінкою напівсуми генеральних квартилей Q. а так як m = Ме = Q. то всі вони оцінюють m. Оцінка в силу симетричності конструкції також оцінює m. Всі ці оцінки заможні і незсунені, tq і med є робастний оцінками, і tR - немає. Відносна ефективність цих оцінок різна. При n> 4 мають ме-сто нерівності
Доведено, що для нормального розподілу при відомому а вибіркове середнє є ефективною оцінкою параметра m [11].
Властивості оцінок середнього квадратичного відхилення.
Розглядаємо 4 вибіркових характеристики: - інтерквартільная широта,
R = xmax -xmin - розмах. Всі вони характеризують розсіювання, але є зміщеними оцінками. виражаються через. отже, після нормування, що означає де-ня на відповідний нормуючий коефіцієнт
. ці характеристики стануть незміщеними оцінками. Таблиця нормують коефіцієнтів наведена в додатку (таблиця VII).
Утворити незсунені оцінки:
Нормоване середнє відхилення s '= s / ks (n); ks (n) =. Нормоване середнє абсолютне відхилення d * = d / kd (n).
Нормована інтерквартільная широта q * = q / kq (n).
Нормований розмах R * = R / kR (n).
Всі ці оцінки - заможні [11], q є робастной оціню-кой, інші - ні. Відносна ефективність цих оцінок різна, так як різні їх дисперсії. При n> 6 мають місце такі нерівності [11]:
Властивості вибіркової дисперсії
Властивість 1. Вибіркова дисперсія є спроможною оцінкою гені-ральної дисперсії:
Властивість 2. Допоміжна формула для вибіркової дисперсії
Властивість 3. Вибіркова дисперсія - зміщена оцінка генеральної дисперсії з негативним зміщенням -
Внаслідок смещённості вибіркової дисперсії виникає завдання створення несмещённой оцінки дисперсії. Так як . то зміщення можна усунути, помноживши на множник. (3.19)
є несмещённой оцінкою. дійсно,
На закінчення зазначимо, що не є робастной оцінкою.
7. Метод максимальної правдоподібності.
Метод максимальної правдоподібності, створений Фішером (Р. Фішер -англ. Математик, 1890-1962), є досить універсальним і плідний-ним методом оцінювання.
Нехай є вибірка (x1, x2, ... xn) з генеральної сукупності з щільністю ймовірності f (x,. Що містить один невідомий параметр. Вибірка є n -мірною випадковою величиною, компоненти xi якої взаємно незалежні, однаково розподілені з щільністю f (x ,. Тоді щільність розподілу n -мірною випадкової величини (x1, x2, ... xn) буде дорівнює
Ця функція називається функцією правдоподібності для даної вибір-ки.
Будемо вважати змінної невипадковою величиною, а елементи (x1, x2, ... xn) вибірки фіксованими, так як вибірка фактично здійснювала-тичних. Якщо надавати різні значення, то природно очікувати, що щільність прийме максимальне значення в разі, коли виявиться рівним істинному його значенням, так як при інших значеннях ме-неї ймовірно за один раз отримати саме цю вибірку.
Ці інтуїтивні міркування призводять до того, що за оцінку беруть та-де значення. при якому функція правдоподібності досягає максимуму. Технічно (так як L складається з творів) зручніше шукати max lnL (точка. Дає максимум lnL. Дає і максимум L). Отже, для відшукання маємо рівняння
яке називається рівнянням правдоподібності, а його рішення. залежне від елементів вибірки, оцінкою максимальної правдоподібності.
При виконанні досить загальних умов оцінки максимального правдо-подібності є заможними і асимптотично ефективними. У загальному випадку вони є зміщеними [10]. У разі, коли генеральна щільність ймовірності содер-жит k параметрів, замість одного рівняння правдоподібності вирішується система рівнянь
(3.35) Приклад. Розглянемо показовий закон з щільністю
Функція правдоподібності при х> Про має вигляд
Оцінки максимальної правдоподібності і методу моментів параметра по-казательного
Зауваження. Вище розглянуті два найбільш уживаних на прак-тику методу отримання оцінок параметрів закону розподілу - методи мо-ментів і максимуму правдоподібності. Існують і інші методи, освітлений-ні в літературі. Назвемо ще методи квантилів, мінімуму хі-квадрат, найменших квадратів, найменших абсолютних відхилень, минимакса [10,11].
8. Розподіл середньої арифметичної для вибірок з нормальною сукупності.
9. Розподіл Стьюдента.
10. Розподіл дисперсії в вибірках з нормальної генеральної сукупності
11. Розподіл Хі-квадрат Пірсона.
12. Поняття довірчого інтервалу