«Жив на світі людина,
З дитячої книжки віршів.
У цьому віршику не тільки ніжки скорчені. Все там скорчившись і Кривенько. Та й не тільки там. Вранці, йдучи на роботу, навчання, або ввечері, наближаючись до дому, ми ніяк не відчуваємо кривизни Землі (теж, як з'ясовано, Кривенька). Більше нам заважають всякі криві нерівності на нашому шляху. Тому кривизна Землі в деякій мірі річ відносна.
При виконанні геодезичних робіт на порівняно невеликих територіях поверхню Землі можна приймати за плоску, і виміряні відстані на плоскому зображенні приймати рівними відповідним відстаням на сферичної поверхні. Найчастіше і доводиться виконувати саме такі роботи, на невеликих за розмірами територіях: в межах майданчика будівництва, в межах шахтного поля і т.п. При вимірах значних за величиною відстані слід враховувати вплив кривизни поверхні Землі. Але, як буде показано далі, вимір деяких відстаней вимагає обліку кривизни Землі і для порівняно невеликих відстаней на її поверхні.
Для простоти викладу приймемо, що Земля являє собою кулю радіусом R (радіус Землі, що подається у вигляді кулі, приймають рівним 6371,11 км). Припустимо, що по поверхні кулі з точки А в точку В переміщається (перекочується) матеріальна точка (рис. 2.1), при цьому відстань S = АВ. яке пройде ця точка по поверхні кулі, так само
де # 945; - центральний кут дуги АВ (в радіанах).
Припустимо, що точка рухається по дотичній в точці А до поверхні кулі і пройде по ній шлях Sо = AB '. відповідний руху по поверхні кулі на шляху S. Для величини So можна записати:
Різниця в пройдених шляхах # 916; S = (Sо - S) = R (tg # 945; - # 945; ) І буде помилкою в измеренном відстані через кривизни Землі.
Для малих значень кутів # 945; при розкладанні в ряд функції tg # 945; отримаємо
а після підстановки в вираз для S -
оскільки # 945; = S / R.
Аналогічно розглянемо вплив кривизни Землі на визначення вертикальних відстаней.
Математично встановлено, що погрешнсоть (відхилення) h. що дорівнює різниці відрізків ОВ 'і oв = R. знаходиться через прийняті раніше параметри по формулі
або, зважаючи на малу різниці S і Sо при малих # 945; і h. - за формулою
Мал. 2.1. Облік впливу кривизни Землі.
Оцінка можливих погрешнсотей при вимірюванні вертикальних і горизонтальних відстаней наведена в табл. 2.1.
Похибки в виміряних відстанях через кривизни Землі
Точність вимірювання ліній в геодезичних мережах вищих класів визначається відносною похибкою порядку 1: 400000, що практично є порівнянним для S = 10 км (і, звичайно, більше 10 км). До 10 км при вимірюванні горизонтальних відстаней в багатьох випадках впливом кривизни Землі можна знехтувати.
Зовсім інша картина спостерігається при оцінці похибок в вертикальних відрізках. Якраз про це і було попередження вище. Точність висот при геодезичних роботах, наприклад, при топографічній зйомці, визначається величиною 5 см, тобто вже для відстаней S = 1000 м необхідно враховувати кривизну Землі. Якщо ж точність вимірювань вище, наприклад 5 мм і менше, то облік кривизни Землі слід починати приблизно для відстаней 250 - 300 м, що легко перевірити зворотним розрахунком по формулі (2.6).