При виведенні основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії вважалося, що молекули мають різні швидкості. Після багаторазових зіткнень швидкість кожної молекули змінюється за модулем і напрямком. Але через хаотичного руху молекул всі напрямки руху рівноймовірно, т. Е. В будь-якому напрямку в середньому рухається рівне число молекул.
Згідно молекулярно-кінетичної теорії, як би не змінювалися при зіткненнях швидкості молекул, середня квадратична швидкість молекул масою m0 в газі, який знаходиться в стані рівноваги при Т = const, залишається незмінно і дорівнює
Це пояснюється тим, що в газі, що знаходиться в стані рівноваги, встановлюється деякий стаціонарне, з часом не змінюється статистичний розподіл молекул за швидкостями, що підкоряється цілком певного статистичному закону. Цей закон теоретично виведений Дж. Максвеллом.
При виведенні закону розподілу молекул за швидкостями Максвелл зробив припущення, що газ складається з величезного числа N тотожних молекул, які знаходяться в стані хаотичного теплового руху при однаковій температурі. Також передбачалося, що силові поля на газ не діють.
Закон Максвелла описується деякою функцією f (# 957;), яка називається функцією розподілу молекул за швидкостями. Якщо розбити діапазон швидкостей молекул на малі інтервали, які дорівнюють d # 957 ;, то на кожен інтервал швидкості доводиться число молекул dN (# 957;), що мають швидкість, яка укладена в цьому інтервалі. Функція f (# 957;) задає відносне число молекул dN (# 957;) / N, швидкості яких знаходяться в інтервалі від # 957; до # 957; + D # 957 ;. т. е.
Застосовуючи методи теорії ймовірностей, Максвелл отримав функцію f (# 957;) - закон про розподіл молекул ідеального газу за швидкостями:
З (1) видно, що конкретний вид функції залежить від виду газу (від маси молекули) і від параметра стану (від температури Т).
Графік функції (1) наведено на рис. 1. Так як при зростанні # 957; множник exp [-m0 # 957; 2 / (2kT)] зменшується швидше, ніж збільшується множник # 957; 2. то функція f (# 957;), починаючись від нуля, досягає максимуму при # 957; B. і потім асимптотично прагне до нуля. Крива несиметрична щодо # 957; B.
Відносне число молекул dN (# 957;) / N, зі швидкостями, що лежать в інтервалі від # 957; до # 957; + D # 957 ;. розраховується як площа заштрихованої смужки на рис. 1. Площа, яка обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці. Це означає, що функція f (# 957;) задовольняє умові нормування
Швидкість, при якій максимальна функція розподілу молекул ідеального газу за швидкостями, називається найбільш вірогідною швидкістю. значення якої можна знайти продифференцировав вираз (1) (постійні множники опускаємо) по аргументу # 957 ;. при цьому прирівнявши результат нулю і використовуючи умову для максимуму виразу f (# 957;):
значення # 957; = 0 і # 957; = ∞ відповідають мінімумам вираження (1), а значення # 957 ;. при якому вираз в дужках стає рівним нулю, і є шукана найбільш ймовірна швидкість # 957; B:
З формули (2) ми бачимо, що при зростанні температури максимум функції розподілу молекул за швидкостями (рис. 2) рухається вправо (при цьому стає більше значення найбільш вірогідною швидкості). Однак площа, яка обмежена кривою, не змінюється, тому крива розподілу молекул за швидкостями при підвищенні температури буде розтягуватися і знижуватися.
Середня швидкість молекули <ν> (Середня арифметична швидкість) визначається за формулою
Підставляючи сюди f (# 957;) і інтегруючи, одержуємо
Швидкості, які характеризують стан газу: 1) найбільш ймовірна 2) середня 3) середня квадратична (рис. 1). Виходячи з розподілу молекул за швидкостями
знайдемо розподіл молекул газу за значеннями кінетичної енергії # 949 ;. З цією метою перейдемо від змінної # 957; до змінної # 949; = m0 v 2/2. Підставивши в (4) і. отримаємо
де dN (# 949;) - число молекул, які мали кінетичну енергію поступального руху, укладену в інтервалі від # 949; до # 949; + D # 949 ;.
Значить, функція розподілу молекул по енергіях теплового руху
Середня кінетична енергія <ε> молекули ідеального газу
т. е. отримали результат, що співпадає з формулою про середньої кінетичної енергії руху однієї молекули ідеального газу, що виводиться з молекулярно-кінетичної теорії.
Уздовж осі внутрішнього циліндра з метою натягнута платинова дріт, покрита шаром срібла, яка нагрівається струмом. При нагріванні срібло випаровується, атоми срібла вилітають через щілину і потрапляють на внутрішню поверхню другого циліндра. Якщо обидва циліндра нерухомі, то всі атоми незалежно від їх швидкості потрапляють в один і той же місце В. При обертанні циліндрів з кутовий швидкістю # 969; атома срібла потраплять в точки В ', B' 'і так далі. За величиною # 969 ;, віддалі. і зміщення х = ВВ 'можна обчислити швидкість атомів, які потрапили в точку В'.
Зображення щілини виходить розмитим. Досліджуючи товщину обложеного шару, можна оцінити розподіл молекул за швидкостями, яке відповідає максвелловскую розподілу.