Знайти ймовірність розпаду радіоактивного ядра за проміжок часу t. якщо відома його постійна розпаду # 955 ;.
Рішення. Нехай в момент часу t = 0 ядро достовірно існує. Тоді до моменту часу t = t'(рис. 2.1.1) є дві можливості:
1) ядро не зазнало радіоактивного розпаду і ймовірність цієї події q (t');
2) ядро розпалося і ймовірність цієї події дорівнює р (t').
тому третьої можливості немає.
З'ясуємо, чому дорівнює ймовірність розпаду ядра за нескінченно малий проміжок часу dt'. якщо за попередні часи t'ядро не розпалася. Ця подія складне (див. Рис. 2.1.1). Імовірність того, що відбудуться обидві події буде дорівнює
де # 955; dt - ймовірність розпаду за інтервал часу dt. З (2.1.1) випливає, що dp (t') = -dq (t'). Провівши цю заміну в (2.1.2), отримуємо диференціальне рівняння для знаходження q (t'):
Використовуючи очевидне початкова умова q (t = 0) = 1 знайдемо, що ймовірність того, що ядро не зазнає розпад до заданого моменту часу
Таким чином, отримана формула (2.4).
Нуклід 226 Ra, будучи продуктом розпаду 238 U, міститься в останньому в кількості одного атома на кожні 2,80 · 10 6 атомів 238 U. Знайти період напіврозпаду 238 U, якщо відомо, що він значно більше періоду напіврозпаду 226 Ra, який дорівнює 1620 років.
Рішення. Для вирішення використовуємо формулу (2.11.8) з попередньої задачі, так як умови, при яких вона справедлива, дотримані:
,
при # 946; розпаді 112 Pd виникає # 946; -активний нуклід 112 Ag. Їх періоди напіврозпаду рівні відповідно 21 і 3,2 ч. Знайти відношення максимальної активності нукліда 112 Ag до первісної активності препарату, якщо в початковий момент препарат містив тільки нуклід 112 Pd.
Рішення. Будемо позначати індексом «1» величини, що відносяться до 112 Pd, а індексом «2» величини, що відносяться до 112 Ag. тоді
; .
.
де N (tm) - максимальне число атомів нукліда 112 Ag, яке накопичується за час tm (2.11.7). Використовуючи (2.11.6), отримаємо
.
Обчислимо, використовуючи (2.11.7),
а потім за формулою (2.13.2) розрахуємо
.
Радіонуклід відчуває перетворення по ланцюжку
(Під стрілками вказані відповідні періоди напіврозпаду). Вважаючи, що в початковий момент t = 0 препарат містив тільки 118 Cd, знайти
а) яка частина ядер перетворитися в стабільні ядра через 60 хв;
б) у скільки разів зменшиться активність препарату через 60 хв.
Рішення а). Нехай N10 - початкове кількість ядер, а N3 (t) - кількість які утворилися ядер 118 Sn за час t.
У свою чергу, кількість які утворилися ядер 118 Sn за час t дорівнює числу розпалися ядер 118 In за цей же проміжок часу:
,
де N2 (t) і # 955; 2 - залежність числа ядер 118 In від часу і їх постійна розпаду. Використовуючи формулу (2.11.6), отримаємо
.
.
величину # 951; а обчислити самостійно (# 951; а = 0,7).
б) Активність препарату через час t складе
.
величину # 951; б обчислити самостійно (# 951; б = 1,85).
Визначити масу свинцю, який утворюється з 1,0 кг 238 U за час, що дорівнює віку гірських порід (2,5 х 10 9 років).
Рішення. 206 Pb є кінцевим і стабільним елементом в радіоактивному сімействі (ряду) урану, родоначальником якого є 238 U. Оскільки сумарний період напіврозпаду всіх наступних ланок сімейства багато менше, ніж період напіврозпаду ядер 238 U, то з хорошою точністю можна вважати, що період напіврозпаду, що призводить до утворення ядер 206 Pb, дорівнює періоду напіврозпаду 238 U.
Шукана маса 206 Pb буде дорівнює
де Np (238 U) - кількість розпалися ядер 238 U за час t. які, в кінцевому підсумку, перетворилися в рівну кількість ядер 206 Pb. Якщо первинна кількість ядер 238 U дорівнювало
.
то кількість розпалися ядер 238 U за час t складе
Підставивши останній вираз в (2.15.1), отримаємо
M (206 Pb) = = = = 0,27 кг.
Радіонуклід 27 Mg утворюється з постійною швидкістю g = 5,0 × 10 10 ядер в секунду. Визначити кількість ядер 27 Mg, яке накопичиться в препараті через проміжок часу а) значно перевищує його період напіврозпаду; б) дорівнює періоду напіврозпаду.
Рішення. Розглянемо зміна dN ядер 27 Mg протягом малого проміжку часу dt:
де gdt - кількість народжуваних ядер, а # 955; Ndt - кількість зруйнованих ядер за час dt .Інтегріруя це рівняння з початковою умовою N (t = 0) = 0, отримаємо формулу (2.3):
.
а) Граничний перехід в (2.3) при t → ∞ дає
Отриманий результат визначає максимальну кількість ядер 27 Mg, яке може утворитися при заданих умовах.
б) Якщо t = T1 / 2. то вираз в дужках в (2.3) дорівнює 1/2 і з урахуванням результату п. а), отримаємо
.
Радіонуклід 124 Sb утворюється з постійною швидкістю g = 1,0 х 10 9 ядер в секунду. З періодом напіврозпаду Т1 / 2 = 60 сут він перетворюється в стабільний нуклід 124 Ті. Знайти а) через скільки часу після початку утворення активність 124 Sb стане А = 3,7 × 10 8 Бк; б) яка маса нукліда 124 Ті накопичиться в препараті за чотири місяці після початку його утворення.
Рішення а). Помноживши праву і ліву частини формули (2.3) на постійну розпаду # 955; нуклида 124 Sb, отримаємо рівняння
.
.
б) Оскільки розпад кожного атома нукліда 124 Sb супроводжується утворенням атома стабільного нукліда 124 Ті, то його маса за час t після початку утворення нуклида 124 Sb буде дорівнює
де N (t) - кількість ядер нуклида 124 Sb, що розпалися за час t. В свою чергу
,
якщо для обчислення A (t) використовувати (2.17.1).
MTe (tб) = Мат (124 Ті) ·
.
Радіонуклід 138 Xe, який утворюється з постійною швидкістю g = 1,0 х 10 9 ядер в секунду, відчуває перетворення за схемою
(Під стрілками вказані періоди напіврозпаду). Обчислити сумарну активність препарату через 60 хв після початку накопичення.
Рішення. шукана активність
Залежність А1 (t) активності нукліда 138 Xe виражається формулою (2.17.1). Для знаходження залежності N2 (t) накопичення ядер нуклида 138 Сs необхідно вирішити рівняння
,
де N1 (t) і N2 (t) - накопичення ядер 138 Xe і 138 Сs, а N1 (t) обчислюється за формулою (2.3), тоді
.
Рішення цього рівняння, яке виходить методом варіації постійної (див. Задачу 2.11), при N2 (t = 0) = 0 має вигляд
.
Підставивши отримане рішення і (2.17.1) в (2.18.1), отримаємо остаточно
.
Обчислення величини А виконати самостійно (А = 1,4 × 10 10 Бк).