т. е. має місце рівність
Звичайно, ми припускаємо, що входять до рівності (1) і (2) невласні інтеграли на існують.
5.12.1. Рівняння теплопровідності. Як приклад застосування синус-перетворення розглянемо рівняння теплопровідності (див. § 5.5) для напівнескінченного стержня:
при граничному умови
і початковій умові
Вважаємо, що, при. Це не суперечить фізичним міркувань. Тому ми знаходимося в умовах можливості застосування синус-перетворення.
- синус-перетворення шуканого рішення поставленої вище завдання.
Помноживши рівняння (3) на і інтегруючи по в межах від 0 до, отримаємо (враховуючи (4) - (6))
Таким чином, ми звели задачу до вирішення звичайного лінійного диференціального рівняння першого порядку. Обмежене рішення рівняння (7), що задовольняє умові (8), має вигляд
Формула звернення (див. (3) § 4.13) дає
Як нам відомо (див. Нашу книгу «Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення», § 6.10), інтеграл сходиться і, більш того (див. Нижче приклад 2 § 6.14),
Корисно перевірити, що функція (11) дійсно задовольняє нашому рівняння. При перевірці необхідно обгрунтувати законність диференціювання по параметру відповідних невласних інтегралів.
При інтеграл в правій частині (11) дорівнює, в силу (10). Тому виконується початкова умова (5).
При цей інтеграл дорівнює нулю і, т. Е. Виконується гранична умова (4).
Інтеграл в (11) при сходиться, тому що
Продифференцировав формально рівність (11) за змінної, отримаємо
Щоб обгрунтувати законність формального диференціювання при, треба задати довільний відрізок зміни, де, і довести, що інтеграл (12) рівномірно сходиться на цьому відрізку при фіксованому (див. Теорему 2 § 2.15).
Так як, то при фіксованому виконується нерівність
де інтеграл в правій частині сходиться і не залежить від. Але тоді інтеграл (12) рівномірно сходиться на і формальне диференціювання (11) законно, і формула (12) дійсно має місце (див. § 2.15, с. 198).
Подібним чином обґрунтовується законність формального диференціювання при отриманні приватної похідною.
Аналогічним чином, використовуючи комплексне перетворення Фур'є, можна вирішити задачу теплопровідності для нескінченного в обидві сторони стрижня (див. § 5.6, де рішення задачі отримано методом Фур'є поділу змінних).
5.12.2. Рівняння коливання необмеженої струни. Як ми встановили в § 5.7, рівняння коливання струни має вигляд
Будемо вирішувати рівняння (13) при початкових умовах
Ми припускаємо, що функція така, що все викладки, які будуть проводитися нижче, законні.
- комплексне перетворення Фур'є (зворотне) функції.
Інтегруючи по частинах (в припущенні, що і звертаються в нуль при), отримуємо
Помноживши рівняння (13) на і використовуючи початкові умови (14), інтегруючи по в межах від до, використовуючи (15), отримаємо допоміжне рівняння
Початкові умови запишуться
Вирішуючи рівняння (16) (звичайне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами), отримаємо
Формула звернення (див. (19) § 4.12) дає
Таким чином, ми отримали, що