У 1975 році вчений з Каліфорнійського університету Стів Селвін (Steve Selvin) задався питанням про те, що буде, якщо в цей момент, після відкриття дверей без Призу, запропонувати учаснику поміняти свій вибір. Чи зміняться в цьому випадку шанси гравця отримати Приз, а якщо так, то в який бік? Він відправив відповідне питання у вигляді завдання в журнал The American Statistician ( «Американський статистик»), а також - самому Монті Холу, який дав на нього досить цікавий відповідь. Незважаючи на цей відповідь (а може, і завдяки йому) завдання набула поширення під ім'ям «завдання Монті Холла».
Ви опинилися на шоу Монті Холла в ролі учасника - і в заключний момент, відкривши двері з козою, ведучий запропонував вам поміняти свій вибір. Чи вплине ваше рішення - погодитися чи ні - на ймовірність виграшу?
Спробуйте розглянути людей, які обрали в одному і тому ж випадку (тобто коли Приз знаходиться, наприклад, за дверима №1) різні двері. Хто буде у виграші від зміни свого вибору, а хто - ні?
Як і було запропоновано в підказці, розглянемо людей, які зробили різний вибір. Припустимо, що Приз знаходиться за дверима №1, а за дверима №2 і №3 - кози. Нехай у нас є шість осіб, причому кожні двері вибрали по дві людини, і з кожної пари один згодом змінив рішення, а інший - ні.
Зауважимо, що вибрали двері №1 Ведучий відкриє одну з двох дверей на свій смак, при цьому, незалежно від цього, Автомобіль отримає той, хто не змінить свого вибору, який змінив же свій первісний вибір залишиться без Призу. Тепер подивимося на що вибрали двері №2 і №3. Оскільки за дверима №1 варто Автомобіль, відкрити її Ведучий не може, що не залишає йому вибору - він відкриває їм двері №3 і №2 відповідно. При цьому змінив рішення в кожній парі в результаті вибере Приз, а не змінив - залишиться ні з чим. Таким чином, з трьох людей, що змінили рішення, двоє отримають Приз, а один - козу, в той час як з трьох, які залишили свій початковий вибір незмінним, Приз дістанеться лише одному.
Необхідно відзначити, що якби Автомобіль виявився за дверима №2 або №3, результат був би тим же, змінилися б лише конкретні переможці. Таким чином, припускаючи, що спочатку кожні двері вибирається з однаковою ймовірністю, ми отримуємо, що змінюють свій вибір виграють Приз в два рази частіше, то є ймовірність виграшу в цьому випадку більше.
Подивимося на цю задачу з точки зору математичної теорії ймовірностей. Будемо припускати, що ймовірність початкового вибору кожної з дверей однакова, так само як і ймовірність знаходження за кожною з дверей Автомобіля. Крім того, корисно зробити застереження, що Ведучий, коли він може відкрити дві двері, вибирає кожну з них з однаковою ймовірністю. Тоді виявиться, що після першого прийняття рішення ймовірність того, що Приз за обраною дверима, дорівнює 1/3, в той час як ймовірність того, що він - за однією з двох інших дверей, дорівнює 2/3. При цьому, після того як Ведучий відкрив одну з двох «невибраних» дверей, вся ймовірність 2/3 припадає лише на одну з решти дверей, створюючи тим самим основу для зміни рішення, яка збільшить ймовірність виграшу в 2 рази. Що, звичайно, його аж ніяк не гарантує в одному конкретному випадку, але призведе до більш вдалим результатами в разі багаторазового повторення експерименту.
Післямова
Однак і Гарднер був не першим, так як ще в 1889 році в своєму «Численні ймовірностей» французький математик Жозеф Бертран (не плутати з англійцем Бертраном Расселом!) Пропонує схожу задачу (див. Bertrand's box paradox): «Є три ящика, в кожному з яких лежать дві монети: дві золотих в першому, дві срібних в другому, і дві різні - в третьому. З навмання обраного ящика навмання витягли монету, яка виявилася золотою. Яка ймовірність того, що залишилася монета в ящику - золота? »
Якщо зрозуміти рішення всіх трьох завдань, легко помітити схожість їхніх ідей; математично ж все їх об'єднує поняття умовної ймовірності, тобто ймовірності події A, якщо відомо, що подія B сталося. Найпростіший приклад: ймовірність того, що на звичайному гральному кубику випала одиниця, дорівнює 1/6; однак якщо відомо, що випало число - непарній, то ймовірність того, що це - одиниця, буде вже 1/3. Завдання Монті Холла, як і дві інші наведені завдання, показують, що звертатися з умовними ймовірностями потрібно акуратно.
Ці завдання також нерідко називають парадоксами: парадокс Монті Холла, парадокс ящиків Бертрана (останній не слід плутати зі справжнім парадоксом Бертрана, наведеними в тій же книзі, який доводив неоднозначність існував на той момент поняття ймовірності) - що має на увазі деяке протиріччя (наприклад, в « парадоксі брехуна »фраза« це твердження - хибно »суперечить закону виключеного третього). В даному випадку, однак, ніякого протиріччя зі строгими твердженнями немає. Зате є явне протиріччя з «громадською думкою» або просто «очевидним рішенням» завдання. Дійсно, більшість людей, дивлячись на завдання, вважають, що після відкриття однієї з дверей ймовірність знаходження Призу за будь-який з двох, що залишилися закритими дорівнює 1/2. Тим самим вони стверджують, що немає різниці, погоджуватися або не погоджуватися змінити своє рішення. Більш того, багато людей з працею усвідомлюють відповідь, відмінний від цього, навіть після того, як їм було розказано докладний рішення.
Відповідь Монті Холла Стіву Селвін
12 травня 1975 року
Пану Стіву Селвін,
доценту біостатистики,
Каліфорнійський університет, Берклі.
дякую Вам за те, що надіслали мені завдання з «Американського статистика».
Хоча я і не вивчав статистику в університеті, я знаю, що цифри завжди можна використовувати в свою користь, якби я хотів ними маніпулювати. Ваші міркування не враховують одного істотного обставини: після того як перший ящик виявляється порожнім, учасник вже не може поміняти свій вибір. Так що ймовірності залишаються тими ж: один з трьох, чи не так? Ну і, звичайно, після того як один з ящиків виявляється порожнім, шанси не стають 50 на 50, а залишаються тими ж - один з трьох. Учаснику тільки здається, що, позбувшись від одного ящика, він отримує більше шансів. Зовсім ні. Два до одного проти нього, як було, так і залишилося. І якщо Ви раптом прийдете до мене на шоу, правила залишаться тими ж і для Вас: ніякої зміни ящиків після вибору.
Наступного разу пропоную зіграти на моїй майданчику. Я вивчав хімію і зоологію. Хочете знати, які у вас шанси на виживання з нашими забрудненими повітрям і водою?
Щиро Ваш,
Монті