Завдання з теорії ймовірності та статистики, НДУ ВШЕ
Завдання 1. Брокерська фірма пропонує акції різних компаній. Акції 10 з них продаються за найменшою серед наявних акцій ціною і мають однакову прибутковістю. У трьох компаній в наступному році очікується найбільше зростання ціни. Клієнт збирається придбати акції 5 таких компаній - по одній від кожної компанії. Яка ймовірність того, що в число випадково відібраних потраплять хоча б дві акції, зростання цін на які буде найбільшим в наступному році?
Завдання 2. Імовірність того, що в страхову компанію протягом року звернеться з позовом про відшкодування шкоди перший клієнт, дорівнює 0.008. для другого клієнта ця ймовірність дорівнює 0.005. а для третього клієнта 0.002. Визначте ймовірність того, що протягом року звернеться тільки два клієнта, якщо звернення клієнтів - події незалежні.
Завдання 3. Менеджер ресторану з досвіду знає, що 70% людей, які зробили замовлення на вечір, прийдуть в ресторан повечеряти. В один з вечорів менеджер вирішив прийняти 20 замовлень, хоча в ресторані було лише 15 вільних столиків. Чому дорівнює ймовірність того, що більше 15 відвідувачів прийдуть на замовлені місця?
Завдання 4. У магазині є 15 автомобілів певної марки. Серед них - 7 чорного кольору, 6 - сірого та 2 - білого. Представники фірми звернулися в магазин з пропозицією про продаж їм 4 автомобілів цієї марки, байдуже якого кольору. Складіть ряд розподілу випадкової величини X. рівній числу проданих автомобілів чорного кольору за умови, що автомобілі відбиралися випадково. Знайдіть числові характеристики цього розподілу: математичне сподівання M (X); дисперсію D (X); функцію розподілу Fx (x). побудуйте графік функції розподілу. Знайдіть закон розподілу випадкової величини Y = X 2 -1 і математичне очікування M (Y).
Завдання 5. Щільність розподілу неперервної випадкової величини X має вигляд. Знайдіть нормується константу c. функцію розподілу, математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення, ймовірність того, наблюденное значення X потрапляє в інтервал [1; 4].
Завдання 6. По таблиці розподілу двовимірної випадкової величини
Знайдіть приватні закони розподілу випадкових величин X і Y; математичне сподівання M (XY). M (X). M (Y); дисперсію D (XY). D (X). D (Y). обчисліть кореляційний момент K (XY) і коефіцієнт кореляції r (XY).
Завдання 7. За звітний рік собівартість одиниці продукції (тис. Руб.) Підприємств однієї з галузей промисловості характеризується даними: 21 33 24 26 21 23 23 23 26 26 30 26 30 28 26 28 26 30 28 28.
1) Побудуйте ряд розподілу підприємств за собівартістю продукції, накресліть полігон розподілу і визначте середню собівартість одиниці продукції, дисперсію, середньоквадратичне відхилення і коефіцієнт варіації. Поясніть отримані дані.
2) Розбивши всі дані по підприємствах на 6 рівних інтервалів, побудуйте групувати ряд розподілу підприємств за собівартістю. За допомогою гістограми оціните щільність розподілу. Побудуйте довірчий інтервал (точний або асимптотический) для математичного очікування з рівнем довіри 0.95.
Завдання 8. За 6 магазинах є такі дані:
Товарообіг (тис. Р)
Витрати обігу (тис. Р)
Обчисліть рангові коефіцієнт кореляції Спірмена, встановіть чи залежать витрати обігу від товарообігу. Оцініть значимість цього коефіцієнта. Прийняти рівень значущості 0.01.
Завдання 9. На основі досліджень головних показників економіки за 1980 рік було встановлено, що валовий національний продукт на людину в США склав 2334 $. а в Англії 998 $; зовнішньоторговельний оборот у США досяг 26836 млн. $. в той час як в Англії він склав 18667 млн. $. За наявними даними побудуйте таблицю спряженості і по ній при рівні значущості α = 0.05 перевірте гіпотезу про незалежність ознак: зовнішньоторговельний оборот і валовий національний продукт.
Завдання 10. У ході соціологічного дослідження, що стосується проблеми розлучень серед молодих сімей було встановлено, що з 100 нуклеарні сімей (що живуть окремо від батьків) протягом перших 3 років спільного життя розвелося 19 сімей, за той же період часу з 108 складних сімей (що живуть спільно з батьками) розвелося 23 сім'ї. Перевірте гіпотезу про рівність можливостей розлучень для молодих нуклеарні і складних сімей при рівні значущості 0.1.