Вітаю!
У підручнику Станіслава Сакса "Теорія інтеграла" є шість завдань, які він дає відразу після визначення абсолютно неперервної функції безлічі і сингулярної функції безлічі, називаючи їх очевидними. На свій сором жодну з них вирішити не можу Власне тому прошу допомоги. Отже, завдання:
1. Для того, щоб аддитивная функція безлічі на безлічі E була
а) абсолютно неперервна
б) сингулярна
необхідно і достатньо, щоб її верхня і нижня варіації обидві були
а) абсолютно безперервними
б) сингулярними
2. Лінійна комбінація двох адитивних
а) абсолютно безперервних
б) сингулярних
функцій на множині E
а) абсолютно неперервна на E
б) сингулярна на E
3. Якщо послідовність адитивних функцій
а) абсолютно безперервних
б) сингулярних
на безлічі E сходиться до адитивної функції на кожному вимірному підмножині, то функція також
а) абсолютно неперервна
б) сингулярна
4. Якщо аддитивная функція безлічі
а) абсолютно неперервна
б) сингулярна
на множині E, то вона буде
а) абсолютно безперервної
б) сингулярной
і на кожному вимірному підмножині E.
5. Якщо, де - послідовність вимірних множин і аддитивная на E функція
а) абсолютно неперервна
б) сингулярна
на кожному безлічі, то функція
а) абсолютно неперервна
б) сингулярна
і на всьому безлічі E.
6. Аддитивна функція безлічі не може бути одночасно абсолютно безперервної і сингулярної на безлічі, не звертаючись тотожне в нуль.
Так як дістати зміг тільки книгу англійською, то не впевнений навіть у правильності перекладу визначень:
Визначення 1) Аддитивна функція безлічі на безлічі E називається абсолютно неперервною на E, якщо функція дорівнює нулю для будь-якого вимірного підмножини E, міра якого дорівнює нулю.
Оригінал англійською: An additive function of a set on a set E, will be said to be absolutely continuous on E, if the function vanishes for every subset of E whose measure is zero.
Визначення 2) Аддитивна функція безлічі Ф (X) на множині E називається сингулярной на E, якщо існує вимірне підмножина заходи нуль, таке, що Ф (X) = 0 на, тобто для будь-якого вимірного підмножини X з E.
Оригінал англійською: An additive function Ф (X) of a set on a set E will be termed singular on E, if there exists a subset measurable of measure zero, such that Ф (X) vanishes identically on, i.e. for every subset X of E measurable.
Щодо першого завдання є тільки така думка - розкладання Жордана функції на суму нижніх і верхніх варіацій. Відповідно, сума абсолютно безперервних ніби як має бути безперервною?
Буду ДУЖЕ вдячний за будь-які підказки
AD. тобто на другий завданню дано: і питається, чи випливає з цього, що абсолютно неперервна?
У другій задачі дано, що і абсолютно неперервні. Це означає, що і для будь-якого безлічі такого, що. Потрібно забрати, що для будь-якого такого. Дійсно,, що й треба було довести.
треба показати спочатку що міра цієї лінійної комбінації дорівнює нулю і при цьому сама лінійна комбінація дорівнює нулю?
Брррр. Пишіть по-людськи! Що ще за мера лінійної комбінації?
Чи треба доводити в першому завданні, що сума абсолютно неперервних функцій буде також безперервної і навпаки - функція абсолютно безперервна подана в вигляді суми абсолютно неперервних функцій?
"Навпаки" - дуже просто. Будь-яка абсолютно безперервна функція подана в вигляді і у вигляді, в обох випадках обидва доданків абсолютно неперервні.