Жорданова матриця 1

Жорданова матриця - квадратна блочно-діагональна матриця над полем $\backslash \; Bbb\; K$, з блоками виду

\ lambda 1 0 \ cdots 0 0 \\ 0 \ lambda 1 \ cdots 0 0 \\ 0 0 \ lambda \ ddots 0 0 \\ \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ Vdots \\ 0 0 0 \ ddots \ lambda 1 \\ 0 0 0 \ cdots 0 \ Lambda \\\ end. кожен блок $J\_\; \backslash \; lambda$ називається жорданової кліткою з власним значенням $\backslash \; lambda$ (Власні значення в різних блоках, взагалі кажучи, можуть збігатися).

Згідно з теоремою про жорданової нормальній формі, для довільної квадратної матриці $A$ над алгебраїчно замкнутим полем $\backslash \; Bbb\; K$ (Наприклад, полем комплексних чисел $\backslash \; Bbb\; K\; =\; \backslash \; Bbb\; C$) Існує квадратна невироджена (тобто оборотна, з відмінним від нуля визначником) матриця $C$ над $\backslash \; Bbb\; K$, така, що

є жорданової матрицею. При цьому $J$ називається жорданової формою (або жорданової нормальною формою) матриці $A$. У цьому випадку також кажуть, що жорданова матриця $J$ в полі $\backslash \; Bbb\; K$ подібна (або пов'язана) даної матриці $A$. І навпаки, в силу еквівалентного співвідношення

матриця $A$ подібна в поле $\backslash \; Bbb\; K$ матриці $J$. Неважко показати, що введене таким чином відношення подібності є відношенням еквівалентності і розбиває безліч всіх квадратних матриць заданого порядку над даним полем на непересічні класи еквівалентності. Жорданова форма матриці визначена неоднозначно, а з точністю до порядку Жорданових клітин. Точніше, дві Жорданова матриці подібні над $\backslash \; Bbb\; K$ в тому і тільки в тому випадку, коли вони складені з одних і тих же Жорданових клітин і відрізняються один від одного лише розташуванням цих клітин на головній діагоналі.

• Кількість Жорданових клітин порядку $n$ з власним значенням $\backslash \; lambda$ в жорданової формі матриці $A$ можна обчислити за формулою $c\_n\; (\backslash \; lambda)\; =$

\ Operatorname (A- \ lambda I) ^ -2 \ operatorname (A- \ lambda I) ^ + \ operatorname (A- \ lambda I) ^,

де $I$ - одинична матриця того ж порядку що і $A$, символ $\backslash \; operatorname$ позначає ранг матриці. а $\backslash \; Operatorname\; (A-\; \backslash \; lambda\; I)\; ^\; 0$, за визначенням, дорівнює порядку $A$. Вищенаведена формула випливає з рівності $\backslash \; Operatorname\; (A-\; \backslash \; lambda\; I)\; =\; \backslash \; operatorname\; (J-\; \backslash \; lambda\; I).$

• У разі якщо поле $\backslash \; Bbb\; K$ не є алгебраїчно замкнутим. для того щоб матриця $A$ була подібна над $\backslash \; Bbb\; K$ деякої жорданової матриці, необхідно і достатньо, щоб поле $\backslash \; Bbb\; K$ містило всі корені характеристичного многочлена матриці $A$.
• У ермітової матриці все Жорданова клітини мають розмір 1.
• Є матрицею лінійного оператора в канонічному базисі.
• Жорданова форми двох подібних матриць збігаються з точністю до порядку клітин.

Одним з перших таку форму матриці розглядав Жордан.

Варіації і узагальнення

• Над полем дійсних чисел власні значення матриці (тобто коріння характеристичного многочлена) можуть бути як речовими, так і комплексними, причому комплексні власні значення, якщо вони є, присутні парами разом зі своїми комплексно сполученими: $\backslash \; Lambda\_\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; pm\; i\; \backslash \; beta$, де $\backslash \; alpha$ і $\backslash \; beta$ - речові числа, $\backslash \; Beta\; \backslash \; neq\; 0$. У матеріальному просторі такій парі комплексних власних значень відповідає блок $J\_>$, і до зазначеного вище виду Жорданових матриць додаються матриці, що містять також блоки виду $J\_>$, що відповідають парам комплексних власних значень: [1] [2]

$J\; \_>\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; begin$

\ alpha \ beta 1 0 0 0 \ cdots 0 0 0 0 \\ - \ beta \ alpha 0 1 0 0 \ cdots 0 0 0 0 \\ 0 0 \ alpha \ beta 1 0 \ cdots 0 0 0 0 \\ 0 0 - \ beta \ alpha 0 1 \ ddots 0 0 0 0 \\ \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ vdots \ vdots \ Vdots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ vdots \ Vdots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots \ alpha \ beta 1 0 \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots - \ beta \ alpha 0 1 \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots 0 0 \ alpha \ Beta \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots 0 0 - \ beta \ Alpha \\ \ end \ right).

• Теорема про жорданової нормальній формі є окремим випадком теореми про структуру конечнопорожденних модулів над областями головних ідеалів. Дійсно, класифікація матриць відповідає класифікації лінійних операторів. а векторні простору над полем $\backslash \; Bbb\; K$ з фіксованим лінійним оператором биективно відповідають модулям над кільцем многочленів $\backslash \; Bbb\; K\; [x]$ (Множення вектора на $x$ задається як застосування лінійного оператора).

• Крім жорданової нормальної форми, розглядають ряд інших типів нормальних форм матриці (наприклад, фробеніусова нормальна форма). До їх розгляду вдаються, зокрема, коли основне поле не містить всіх коренів характеристичного многочлена даної матриці.

Примітки

література

Схожі статті

• жорданова матриця

• Число обумовленості матриці

• Режисер матриці вперше зізнався, чому змінив стать