Жорсткість геомагнітного обрізання
У розглянутій задачі частка зазвичай характеризується магнітною жорсткістю R (або просто жорсткістю), яка визначається як
де pc - імпульс частинки, Z - відносний заряд, e - заряд електрона. З визначення магнітної жорсткості видно, що вона пов'язана з штермеровской одиницею довжини і магнітним моментом диполя R = MS -2. Частинки з однаковою жорсткістю рухаються за однаковими траєкторіями. R зазвичай вимірюється в Гігавольтах. Для протона R (в ГВ):
де Ek - кінетична енергія протона (в ГеВ).
З теорії Штермер слід, що мінімальна жорсткість Rc. при якій позитивно заряджена частинка може досягти точки з координатами r, λ (λ - геомагнітна широта), рухаючись під кутом ω до напрямку "схід-захід", є
Ця величина називається жорсткістю геомагнітного обрізання - cut-off rigidity. З формули видно, що жорсткість обрізання залежить від напрямку. Для частинок, що досягають поверхні Землі на широті λ під кутом ω,
Тут Rc виражена в ГВ. Для позитивно заряджених частинок вона мінімальна при русі із заходу і максимальна - зі сходу. На практиці широко використовується вертикальна жорсткість обрізання - для частинок, що приходять по радіусу Землі. На екваторі при русі із заходу Rc = 9.8 ГВ, зі сходу Rc = 57.2 ГВ, в вертикальному напрямку Rc = 14.3 ГВ.
Основним методом дослідження траєкторій руху заряджених частинок в геомагнитном поле є чисельне інтегрування рівняння руху. В даний час найбільш поширене використання різних модифікацій методу Рунге-Кутта 4-го порядку [10,13], при цьому застосовуються стандартні способи контролю точності, включаючи перевірку збереження інтеграла руху - енергії (або модуля швидкості). Для випадку дипольного поля можна використовувати і другий інтеграл руху - інтеграл Штермер. Крім того, для перевірки правильності чисельного рішення використовується метод зворотного інтегрування. Суть його в тому, що в силу структури рівняння Лоренца, що описує рух зарядженої частинки в стаціонарному магнітному полі, при одночасній заміні на протилежні значення знака заряду частинки і вектора її швидкості траєкторія руху повністю зберігається, але проходиться в зворотному напрямку. Зупинивши в якийсь момент чисельне інтегрування, можна спробувати повернутися у вихідну точку (або в її околицю) зворотним інтеграцією, оцінивши тим самим помилку чисельного рішення. Цей же метод зворотного інтегрування застосовується для визначення вихідної точки, в якій частка космічних променів потрапила з міжпланетного простору на кордон магнітосфери Землі. Так як основний потік космічних променів складають протони, то при розрахунках використовуються «антипротона», тобто частинки з тією ж масою і елементарним зарядом -1.
Траєкторії часток в геомагнитном поле
Траєкторії часток в геомагнитном поле мають досить складний вид, особливо при невеликих енергіях. На цьому і наступному малюнках показані пари розрахованих траєкторій пробних частинок, інжектованих з однієї і тієї ж точки вертикально вгору, при цьому значення енергії для кожної пари відрізняються незначно. Проте, одна з траєкторій (червона) встромляється в Землю, а друга (зелена) йде на кордон магнітосфери. Тут показані траєкторії частинок при жорсткості
Зліва показані траєкторії частинок при жорсткості
9 ГВ, праворуч при
2.6 ГВ. Добре видно, як траєкторії поступово розходяться.
Межі застосування теорії Штермер
Теорія Штермер заснована на аксиальной симетрії дипольного магнітного поля, з якої випливає існування другого інтеграла руху. При переході до більш складним моделям геомагнітного поля (наприклад, моделі IGRF) зазначена симетрія зникає, і узагальнений момент кількості руху перестає бути точним інтегралом. Однак в області квазідіпольного (тобто близької до дипольному) полю теорія Штермер задовільно описує закономірності руху. Крім того, при досить високих енергіях, відповідно до жорсткості обрізання частинок, що досягають поверхні Землі в приекваторіальній області, радіус кривизни траєкторії частинок досить великий у порівнянні з характерними розмірами магнітного поля (див. Малюнок). Тому можна знехтувати відмінностями реального геомагнітного поля від дипольного хоча б в сенсі застосовності основних уявлень теорії Штермер. Для оцінки застосовності даної теорії до руху частинки заданої енергії можна порівняти величину штермеровской довжини S для цієї частки з розмірами магнітосфери. Якщо S не перевищує 4-5 радіусів Землі, то найбільш критична область поблизу екватора, що знаходиться близько S = 1 (див. Рис. Структура забороненої області при γ = 0.998) знаходиться в квазідіпольной області геомагнітного поля.
Однак при переході до більш високих широт одночасно наростає відхилення геомагнітного поля від дипольного (зокрема, витягування силових ліній в хвіст магнітосфери в нічному секторі) і зменшується жорсткість обрізання, при цьому радіус кривизни траєкторії частинок також зменшується. Крім того, при малих енергіях починають позначатися інші ефекти, наприклад, вплив електричного поля, існуючого в магнітосфері. Це призводить до того, що існує межа застосовності теорії Штермер [10, 13], хоча слід мати на увазі, що ця межа не має різкого характеру. Вважається, що при геомагнітних широтах вище
65 ° (або при жорсткості менш
1 ГВ) використання теорії Штермер неможливо.
Відмінності між теорією Штермер і реальною картиною проникнення космічних променів в магнітосферу добре видно в високоширотних областях. Відповідно до теорії вісь диполя недоступна для частинок як завгодно великих жорсткостей (крім точки z = 0, див. §2). Насправді в полярних шапках реєструються частки СКЛ досить малих енергій (див. §8).
В області високих широт можна розраховувати жорсткості обрізання чисельним інтеграцією рівнянь руху.