Мал. 21. Область, де X відповідає найбільший шматок
Розглянемо тепер випадок, коли X - найбільший шматок. тоді
X> Y - X, або 2X> Y
і
X> 1 - Y, або X + Y> 1.
На рис. 21 зображений відповідний чотирикутник. Для того щоб знайти координату X його центра ваги, розіб'ємо його на два трикутники по пунктирною лінії. Потім обчислимо середнє цих координат для кожного трикутника і складемо їх з вагами, рівними площами трикутників.
Середнє значення X для правого трикутника дорівнює 1/2 + 1/3 · 1/2, для лівого трикутника 1/2 - 1/3 · 1/6. Площі трикутників пропорційні 1/2 і 1/6 так як у них один і той же підставу. Таким чином, середнє для величини X є
Так як середнє значення довжини самого маленького шматка одно 1/9 або 2/18, а найдовшого 11/18, то для середнього шматка воно виявляється рівним 1 - 11/18 - 2/18 = 5/18. Цей факт неважко отримати і безпосереднім підрахунком, розглянувши область, відповідну неравенствам 1 - Y> X> Y - X.
Отже, середні довжини короткого, середнього та довгого шматків відносяться як 2. 5. 11.
Якщо ламати стрижень на дві частини, то середні дайни короткого і довгого шматків відносяться як
1/4. 3/4 або 1/2 · 1/2. 1/2 · (1/2 + 1).
Для трьох шматків ми отримали пропорцію
1/9. 5/18. 11/18,
що можна записати в вигляді
1/3 · 1/3. 1/3 · (1/3 + 1/2). 1/3 · (1/3 + 1/2 + 1).
У загальному випадку розламування стержня на n шматків середні довжини рівні:
найменший шматок
другий по довжині шматок
третій по довжині шматок
************************************
найбільший шматок
Публікується по роботі: П'ятдесят цікавих імовірнісних завдань з рішеннями. Ф.Мостеллер, перев. з англ. видання друге. М. Наука, 1975, 112 с.
Web-сайт "Термист" (termist.com)
Термомеханічне зміцнення арматурного прокату
Відсутність посилання на використаний матеріал є порушенням заповіді "Не вкради"