Властивість 2. Рух площині відображає пряму в пряму, промінь в промінь, відрізок у відрізок.
Це властивість випливає безпосередньо з попередньої леми, властивості 1 і наступного завдання відрізка, променя і прямий:
Слідство. Точки, що не лежать на одній прямій, рух відображає в точки, також не лежать на одній прямій.
Властивість 3. Рух площині відображає полуплоскость в напівплощина.
Доведення. Нехай пряма (АВ) визначає півплощини a і a ¢. Тоді пряма (A ¢ B ¢) = f (AB) розбиває площину на дві півплощини b і b ¢. Наше завдання показати, що образи будь-яких двох точок, що належать одній півплощині, також належать одній півплощині та, навпаки, образи будь-яких двох точок, які не належать одній півплощині, також не належать одній півплощині.
Нехай точка С Î a ¢. а точка D Îa, тоді [DС]Ç(АВ) =
і (D С). З іншого боку. Для їх образів маємо
(D ¢ ¢ З ¢), де = [D ¢ З ¢]Ç(А ¢ В ¢).
Отже, точки D ¢ і С ¢ належать різним півплощини b і b ¢.
Якщо тепер припустити, що точки С і D належать одній півплощині, наприклад a, а їх образи З ¢ і D ¢ належать різним півплощини, то в силу того, що зворотний рух відобразить точки С ¢ і D ¢ в точки С і D, що належать різним півплощини, отримаємо протиріччя з умовою, так як точки с і D належать одній півплощині.
Властивість 4. Рух площині f відображає кут в кут.
Доведення. Нехай ми маємо кут ÐАОВ. тоді
f: AOB A ¢ O ¢ B ¢.
f: ÐAOB ÐA ¢ O ¢ B ¢.
Властивість 5. Рух площині зберігає просте відношення трьох точок прямої.
Доведення. Нехай точка С ділить відрізок [AB] щодо l:
З іншого боку маємо
Так як рух зберігає | l | і ставлення «лежати між», то рух зберігає просте відношення трьох точок.